Problemas de práctica de derivadas de ecuaciones paramétricas
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Ahora que hemos introducido el concepto de curva paramétrica, nuestro siguiente paso es aprender a trabajar con este concepto en el contexto del cálculo. Por ejemplo, si conocemos una parametrización de una curva dada, ¿es posible calcular la pendiente de una recta tangente a la curva? ¿Y la longitud del arco de la curva? ¿O el área bajo la curva?
Otro escenario: Supongamos que queremos representar la posición de una pelota de béisbol después de que la bola salga de la mano de un lanzador. Si la posición de la pelota está representada por la curva plana \((x(t),y(t))\Ndeberíamos ser capaces de utilizar el cálculo para encontrar la velocidad de la pelota en cualquier momento. Además, deberíamos ser capaces de calcular la distancia que ha recorrido esa bola en función del tiempo.
Consideremos la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas \(x=x(t)\N y \N(y=y(t)\N.) Supongamos que existen \(x′(t)\) y \(y′(t)\), y supongamos que \(x′(t)≠0\). Entonces la derivada \(\dfrac{dy}{dx}\)viene dada por
Este teorema se puede demostrar utilizando la regla de la cadena. En particular, supongamos que el parámetro \(t\) se puede eliminar, dando lugar a una función diferenciable \(y=F(x)\). Entonces \(y(t)=F(x(t)).\N) Diferenciando ambos lados de esta ecuación mediante la regla de la cadena se obtiene
Preguntas sobre ecuaciones paramétricas
La ecuación rectangular \(y=f(x)\Nfunciona bien para algunas formas como una parábola con un eje de simetría vertical, pero en la sección anterior nos encontramos con varias formas que no se podían trazar de esta manera. (Para trazar una elipse con el procedimiento anterior, tenemos que trazar la «parte superior» y la «parte inferior» por separado).
Sean \(f\) y \(g\) funciones continuas sobre un intervalo \(I\). El conjunto de todos los puntos \(\big(x,y\big) = \big(f(t),g(t)\big)\big) en el plano cartesiano, al variar \(t\) sobre \(I\), es la gráfica de las ecuaciones paramétricas \(x=f(t)\big) y \(y=g(t)\big), donde \(t\) es el parámetro. Una curva es una gráfica junto con las ecuaciones paramétricas que la definen.
Esta es una definición formal de la palabra curva. Cuando una curva se encuentra en un plano (como el plano cartesiano), se suele denominar curva plana. Los ejemplos nos ayudarán a entender los conceptos introducidos en la definición.
Trazamos las gráficas de las ecuaciones paramétricas de forma muy parecida a como trazamos las gráficas de funciones como \(y=f(x)\N): hacemos una tabla de valores, trazamos puntos y luego conectamos estos puntos con una curva de aspecto «razonable». La figura 9.20(a) muestra dicha tabla de valores; observe que tenemos 3 columnas.
Ejemplos de ecuaciones paramétricas con soluciones pdf
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Para los problemas 7 – 11 la trayectoria de una partícula viene dada por el conjunto de ecuaciones paramétricas. Describe completamente la trayectoria de la partícula. Para describir completamente la trayectoria de la partícula necesitarás proporcionar la siguiente información.
Fórmula de las ecuaciones paramétricas
54) Un avión que viaja horizontalmente a 100 m/s sobre un terreno plano a una altura de 4000 metros debe dejar caer un paquete de emergencia sobre un objetivo en el suelo. La trayectoria del paquete viene dada por \(\displaystyle x=100t,y=-4.9t^2+4000,t≥0\) donde el origen es el punto en el suelo justo debajo del avión en el momento de la suelta. ¿Cuántos metros horizontales antes del objetivo debe soltar el paquete para dar en el blanco?
55) La trayectoria de una bala viene dada por \(\displaystyle x=v_0(cosα)ty=v_0(sinα)t-\frac{1}{2}gt^2\) donde \(\displaystyle v_0=500m/s, g=9,8=9,8m/s^2\), y \(\displaystyle α=30degrees.\) ¿Cuándo llegará la bala al suelo? ¿A qué distancia de la pistola llegará la bala al suelo?
Solución: \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3}{4}\) y \(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=0\), por lo que la curva no es ni cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo en \(\displaystyle t=3\). Por tanto, la gráfica es lineal y tiene una pendiente constante pero no concavidad.
56) Demuestra que la longitud total de la elipse \(\displaystyle x=4sinθ,y=3cosθ\) es \(\displaystyle L=16∫^{π/2}_0\sqrt{1-e^2sin^2θ}dθ\), donde \(\displaystyle e=\frac{c}{a}\) y \(\displaystyle c=\sqrt{a^2-b^2}\).
