Resolución de ecuaciones exponenciales doc
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1 11.5 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 11.5 OBJETIVOS 1. Resolver una ecuación logarítmica 2. Resolver una ecuación exponencial 2. Resolver una ecuación exponencial Resolver una aplicación que involucre una ecuación exponencial Gran parte de la importancia de las propiedades de los logaritmos desarrolladas en la sección anterior radica en la aplicación de esas propiedades a la solución de ecuaciones que involucran logaritmos y exponenciales. Nuestro trabajo en esta sección considerará técnicas de solución para ambos tipos de ecuaciones. Empecemos con una definición. Definiciones: Ecuación logarítmica Una ecuación logarítmica es una ecuación que contiene una expresión logarítmica. Hemos resuelto algunos ejemplos sencillos en la sección Repasemos por un momento. Para resolver log 3 x 4 para x, recuerda que simplemente convertimos la ecuación logarítmica en forma exponencial. Aquí, x 3 4 por lo que x 81 y 81 es la solución a la ecuación dada. Ahora, ¿qué pasa si la ecuación logarítmica implica más de un término logarítmico? El ejemplo 1 ilustra cómo deben aplicarse entonces las propiedades de los logaritmos. Ejemplo 1 Resolución de una ecuación logarítmica Resuelve cada una de las ecuaciones logarítmicas. (a) log 5 x log La ecuación original puede escribirse como NOTA Aplicamos la regla del producto para logaritmos: log b M log b N log b MN log 5 3x 2 Ahora, debido a que sólo está involucrado un solo logaritmo, podemos escribir la ecuación en la forma exponencial equivalente: 3x 5 2 3x 25 x
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4 Resolución de ecuaciones exponenciales con diferentes bases Paso 1: Determine si los números pueden escribirse utilizando la misma base. Si es así, detente y utiliza los pasos para resolver una ecuación exponencial con la misma base. Si no, vaya al Paso. Paso : Utilice las propiedades de los logaritmos para reescribir el problema. Específicamente, usa la Propiedad que y dice log x = ylog x. a Paso 4: Divide cada lado por el logaritmo. a Paso : Usa una calculadora para encontrar la aproximación decimal de los logaritmos. Paso 6: Termina de resolver el problema aislando la variable. Ejemplos Ahora vamos a utilizar los pasos mostrados anteriormente para trabajar con algunos ejemplos. Estos ejemplos serán una mezcla de ecuaciones exponenciales con la misma base y ecuaciones exponenciales con diferentes bases. Ejemplo 1: Resuelve x + 7 = 11 x+ 7 = 11 x+ 7 log( ) = log(11) Determina si y 11 pueden escribirse usando la misma base. En este caso y 11 no pueden escribirse usando la misma base, así que debemos (x + 7)(log ) = log 11 log11 x + 7 = log x x Divide cada lado por log. Utiliza una calculadora para hallar el log 11 dividido por el log. Redondea la respuesta según corresponda, estas respuestas utilizarán 6 decimales. Termina de resolver el problema restando 7 a cada lado y luego dividiendo cada lado entre. Por lo tanto, la solución del problema x + 7 = 11 es x
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Determina primero si la ecuación puede reescribirse de forma que cada lado utilice la misma base. Si es así, los exponentes pueden ser iguales entre sí. Si la ecuación no puede reescribirse de manera que cada lado use la misma base, entonces aplica el logaritmo a cada lado y usa las propiedades de los logaritmos para resolver.
La propiedad uno a uno puede utilizarse si ambos lados de la ecuación pueden reescribirse como un único logaritmo con la misma base. Si es así, los argumentos se pueden igualar y la ecuación resultante se puede resolver algebraicamente. La propiedad uno a uno no puede utilizarse cuando cada lado de la ecuación no puede reescribirse como un único logaritmo con la misma base.
263. En química, el pH es una medida de la acidez y viene dado por la fórmula \(\mathrm{pH}=-\log \left(H^{+}\right)\), donde \(H^{+}\) es la concentración de iones de hidrógeno (medida en moles de hidrógeno por litro de solución.) Determine la concentración de iones de hidrógeno si el pH de una solución es \(4\).
264. El volumen del sonido, \(L\) en decibelios (dB), viene dado por la fórmula \(L=10 \log \left(I / 10^{-12}\right)\) donde \(I\) representa la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado. Determine la intensidad de una alarma que emite \(120\) dB de sonido.
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Una vez introducida la notación de índices, las leyes de los índices surgen de forma natural al simplificar expresiones numéricas y algebraicas. Así, la simplificación 25 × 23 = 28 conduce rápidamente a la regla am × an = am + n, para todos los enteros positivos m y n.
En muchas aplicaciones de las matemáticas, podemos expresar los números como potencias de una base determinada. Podemos invertir esta pregunta y preguntar, por ejemplo, «¿Qué potencia de 2 da 16? Nuestra atención se centra entonces en el propio índice. Esto nos lleva a la noción de logaritmo, que es simplemente otro nombre para un índice.
En matemáticas de alto nivel, la competencia en la manipulación de los índices es esencial, ya que se utilizan ampliamente en el cálculo diferencial e integral. Así, para diferenciar o integrar una función como , es necesario convertirla primero en forma de índice.
La función en el cálculo que es un múltiplo de su propia derivada es una función exponencial. Estas funciones se utilizan para modelar las tasas de crecimiento en biología, ecología y economía, así como la desintegración radiactiva en física nuclear.
