Ecuación diferencial lineal
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24) Hallar la solución particular de la ecuación diferencial \( 8\dfrac{dx}{dt}=-2\cos(2t)-\cos(4t)\) que pasa por \( (π,π)\), dado que \( x=C-\frac{1}{8}{sin(2t)-\frac{1}{32}{sin(4t)\} es una solución general.
Recuerda que una familia de soluciones incluye soluciones de una ecuación diferencial que difieren por una constante. Para los ejercicios 48 – 52, utilice su calculadora para graficar una familia de soluciones de la ecuación diferencial dada. Utilice las condiciones iniciales desde \( y(t=0)=-10\) hasta \( y(t=0)=10\) aumentando en \( 2\). ¿Hay algún punto crítico en el que el comportamiento de la solución empiece a cambiar?
54) En el problema anterior, si la velocidad inicial de la pelota lanzada al aire es \( a=25\) pies/s, escribe la solución particular de la velocidad de la pelota. Resuelve para encontrar el momento en que la pelota llega al suelo.
56) [T] Lanzas una pelota de masa \( 1\) kilogramo hacia arriba con una velocidad de \( a=25\) m/s en Marte, donde la fuerza de gravedad es \( g=-3,711\) m/s2. Utiliza tu calculadora para aproximar cuánto tiempo está la pelota en el aire en Marte.
Ecuaciones diferenciales exactas
Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es una ecuación de la forma \ds y’ + p(t)y=0\) o equivalentemente \ds y’ = -p(t)y\text{.})Ya hemos visto una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, a saber, el modelo simple de crecimiento y decaimiento \ds =ky\text{.})
Como se puede adivinar, una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden tiene la forma \ds y’ + p(t)y = f(t)\text{.}) No sólo está estrechamente relacionado en forma a la ecuación lineal homogénea de primer orden, podemos utilizar lo que sabemos acerca de la resolución de ecuaciones homogéneas para resolver la ecuación lineal general.
Vamos a discutir ahora cómo podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Supongamos que \(y_1(t)\Ny \N(y_2(t)\Nson soluciones de \N(\ds y’ + p(t)y = f(t)\Ntext{.}) Dejemos que \ds g(t)=y_1-y_2text{.}) Entonces
En otras palabras, \(\ds g(t)=y_1-y_2) es una solución de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0text{.}\} Dando la vuelta a esto, cualquier solución de la ecuación lineal \(\ds y’ + p(t)y = f(t)\text{,}) llámese \(y_1\text{,}) puede escribirse como \(y_2+g(t)\text{,}) para algún \(y_2\) particular y alguna solución \(g(t)\) de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0\text{. }\) Como ya sabemos encontrar todas las soluciones de la ecuación homogénea, encontrar una sola solución de la ecuación \ds y’ + p(t)y = f(t)\) nos dará todas ellas.
Ecuaciones diferenciales ordinarias pdf
Mostrar respuestaSi y = ex entonces y ‘ = ex e y» = ex. El lado izquierdo de la e.d. resulta sery’ + y» = ex + ex = 2exy el lado derecho de la e.d. resulta ser2y = 2(ex) = 2ex.Como el lado izquierdo y el lado derecho de la e.d. resultan iguales, y = ex es una solución de esta ecuación diferencial.
Mostrar respuestaSi y = xex entonces y’ = xex + ex.Este es el lado izquierdo de la ecuación diferencial. El lado derecho de la ecuación diferencial esxy = xex.Como los lados izquierdo y derecho de la e.d. no son iguales cuando y = xex, ésta NO es una solución de la ecuación diferencial.
Mostrar respuestaRespuestaCuando P = e-t, el lado izquierdo de la e.d. esEl lado derecho de la e.d. esP(1 – P) = P – P2, que no es igual a -P. Como los lados izquierdo y derecho de la e.d. no son iguales, P = e-t no es una solución de la ecuación diferencial.
Mostrar respuestaCuando y = x2, obtenemosEntonces el lado izquierdo de la e.d. esEl lado derecho de la e.d. esComo los lados izquierdo y derecho de la e.d. son iguales, y = x2 ES una solución de esta ecuación diferencial.
Ejercicios de ecuaciones diferenciales con soluciones pdf
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