Ecuación diferencial lineal
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Una ecuación diferencial de primer orden es aquella que contiene una primera derivada, pero no una derivada superior, de la función desconocida. Para prácticamente todas las ecuaciones de este tipo que se encuentran en la práctica, la solución general contendrá una constante arbitraria, es decir, un parámetro, por lo que una PIV de primer orden contendrá una condición inicial. No existe un método general que resuelva todas las ecuaciones de primer orden, pero sí hay métodos para resolver tipos particulares.
Una vez que se determina que una ecuación diferencial M dx + N dy = 0 es exacta, la única tarea que queda es encontrar la función f ( x, y) tal que f x = M y f y = N. El método es sencillo: Integrar M con respecto a x, integrar N con respecto a y, y luego «fusionar» las dos expresiones resultantes para construir la función f deseada.
está claro que M y ≠ N x , por lo que la Prueba de Exactitud dice que esta ecuación no es exacta. Es decir, no existe una función f ( x,y) cuya derivada respecto a x sea M ( x,y) = 3 xy – f 2 y que al mismo tiempo tenga como derivada respecto a y N ( x,y) = x ( x – y).
Solucionador de ecuaciones diferenciales exactas
\v + xfrac {{dv}} {{dx}} = \frac{{ – 2v{x^2}}{{{x^2}} = \frac{ – 2v}}{1 + 3{v^2}{x^2}}. + 3{v^2}{x^2}} = \frac{{2v}}{1 + 3{v^2}}&\franja derecha \frac{{dv}{dx}} = – v – \frac{2v}}{1 + 3{v^2}}\frac = \frac{{3v – 3{v^3}}{1 + 3{v^2}}\qqqquad;\qquad; = \frac{{3v(1 + {v^2}}}{1 + 3{v^2}}&\qqad \frac{1 + 3{v^2}}{v(1 + {v^2}}dv = – 3{frac{dx}} {x}end{align}}]
\N – Izquierda( {\frac{1 + 3t}}{1 + t}} \cdot \frac{1}{2t}} \cdot)dt = – 3\frac{{dx}}{x}\\N-flecha derecha \N-cuadrado( {\frac{1}{1 + t}} + \frac{1}{2t}} \N-derecha)dt = – 3\frac{{dx}}{x}end{align}]
\N – [\N – inicio{align}&\N -; \ln (1 + t) + \frac{1}{2}\ln t = – 3\ln x + \ln C\\& \Rightarrow \quad \sqrt t (1 + t){x^3} = C\&Rightarrow \quad v(1 + {v^2}){x^3} = C\&Rightarrow \quad y({x^2} + {y^2}) = Cend{align}]
\N – [\N – Inicio{align} & \qquad \N -frac{{parcial f}} {{parcial y}} = {x^2} + \phi ‘(y) = {x^2} + 3{y^2} {&\a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha + C’ & & & \ldots (2)\nd{align}]
Cómo hacer una ecuación diferencial exacta
donde \(y\) es la variable independiente y \(x\) es la variable dependiente. Dado que las soluciones de la ecuación \ref{req:2.5.2} y de la ecuación \ref{req:2.5.3} tendrán que dejarse a menudo en forma implícita, diremos que \f(F(x,y)=c\c) es una solución implícita de la ecuación \ref{req:2.5. 1} si toda función diferenciable \(y=y(x)\) que satisface \(F(x,y)=c\) es una solución de la Ecuación \ref{ec:2.5.2} y toda función diferenciable \(x=x(y)\) que satisface \(F(x,y)=c\) es una solución de la Ecuación \ref{ec:2.5.3}
desarrollaremos un método para resolver la Ecuación \ref{eq:2.5.1} bajo supuestos apropiados sobre \(M\) y \(N\). Este método es una extensión del método de separación de variables. Antes de exponerlo consideramos un ejemplo.
no tiene sentido, ya que inventar una ecuación diferencial que tenga una solución implícita dada no es especialmente interesante. Sin embargo, ilustra el siguiente teorema importante, que demostraremos utilizando la diferenciación implícita, como en el ejemplo 2.5.1
Para descubrir la respuesta a la pregunta 1, supongamos que existe una función \(F\) que satisface la ecuación \ref{eq:2.5.9} sobre algún rectángulo abierto \(R\), y además que \(F\) tiene derivadas parciales continuas mixtas \(F_{xy}\) y \(F_{yx}\). Entonces, un teorema de cálculo implica que \[\label{eq:2.5.10} F_{xy}=F_{yx}.\} Si \(F_x=M\) y \(F_y=N\), diferenciando la primera de estas ecuaciones con respecto a \(y\) y la segunda con respecto a \(x\) se obtiene
Ecuaciones diferenciales casi exactas
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla «estrecho» (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo apaisado. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lateral de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
El siguiente tipo de ecuaciones diferenciales de primer orden que veremos son las ecuaciones diferenciales exactas. Antes de entrar en los detalles de la resolución de las ecuaciones diferenciales exactas, probablemente sea mejor trabajar con un ejemplo que nos ayude a mostrar lo que es una ecuación diferencial exacta. También mostrará algunos de los detalles detrás de las escenas que por lo general no se molestan en el proceso de solución.
La mayor parte del siguiente ejemplo no se hará en ninguno de los ejemplos restantes y el trabajo que pondremos en los ejemplos restantes no se mostrará en este ejemplo. El objetivo de este ejemplo es mostrar lo que es una ecuación diferencial exacta, cómo usamos este hecho para llegar a una solución y por qué el proceso funciona así. La mayoría de los detalles de la solución real se mostrarán en un ejemplo posterior.
