Area bajo la curva ejercicios resueltos pdf

Calcular el área bajo la curva

En Introducción a la integración, desarrollamos el concepto de integral definida para calcular el área bajo una curva en un intervalo dado. En esta sección, ampliamos esa idea para calcular el área de regiones más complejas. Comenzamos encontrando el área entre dos curvas que son funciones comenzando con el caso simple en el que un valor de la función es siempre mayor que el otro. A continuación, estudiamos los casos en los que las gráficas de las funciones se cruzan. Por último, consideramos cómo calcular el área entre dos curvas que son funciones de

Como hicimos antes, vamos a particionar el intervalo en el y aproximar el área entre las gráficas de las funciones con rectángulos. Así, para que sea una partición regular de Entonces, para elegir un punto y en cada intervalo construir un rectángulo que se extienda verticalmente desde hasta (Figura)(a) muestra los rectángulos cuando se selecciona para ser el punto final izquierdo del intervalo y (Figura)(b) muestra un rectángulo representativo en detalle.

Sean y funciones continuas tales que sobre un intervalo Denotemos la región limitada arriba por la gráfica de abajo por la gráfica de y a la izquierda y derecha por las líneas y respectivamente. Entonces, el área de viene dada por

Calculadora del área entre dos curvas

A Arquímedes le fascinaba calcular las áreas de diversas formas, es decir, la cantidad de espacio que encerraba la forma. Utilizó un proceso que se conoce como el método de agotamiento, que utiliza formas cada vez más pequeñas, cuyas áreas pueden calcularse con exactitud, para llenar una región irregular y obtener así aproximaciones cada vez más cercanas al área total. En este proceso, un área delimitada por curvas se rellena con rectángulos, triángulos y formas con fórmulas de área exactas. A continuación, estas áreas se suman para aproximar el área de la región curva.

En esta sección, desarrollamos técnicas para aproximar el área entre una curva, definida por una función y el eje – en un intervalo cerrado Al igual que Arquímedes, primero aproximamos el área bajo la curva utilizando formas de área conocida (concretamente, rectángulos). Utilizando rectángulos cada vez más pequeños, obtenemos aproximaciones cada vez más cercanas al área. Tomar un límite nos permite calcular el área exacta bajo la curva.

Empecemos introduciendo alguna notación para facilitar los cálculos. A continuación, consideramos el caso cuando es continua y no negativa. Más adelante en el capítulo, relajamos algunas de estas restricciones y desarrollamos técnicas que se aplican en casos más generales.

Ejemplos de área bajo la curva

Cómo encontrar el área bajo las curvas utilizando integrales definidas; se presentan tutoriales, con ejemplos y soluciones detalladas. Al final de la página se presenta un conjunto de ejercicios con respuestas. También se incluyen tutoriales sobre el área entre curvas.

Si Δx en la aproximación anterior de la expresión del área se hace lo suficientemente pequeña, la suma de las áreas de los rectángulos se acercará al valor exacto del área bajo la curva. Por lo tanto, definimos el área de la siguiente manera:

Solución al Ejemplo 3Nótese que los límites de integración no están dados y por lo tanto es necesario un estudio detallado de la gráfica de la función dada. La gráfica de la función dada muestra que hay dos intercepciones de x que son fáciles de encontrar ya que la función dada está en forma factorizada: x = 1 y x = 2. La región finita está delimitada por la curva de y = 3(x – 1)(x – 3), x = 1, x = 3 y el eje x, como se muestra a continuación en la gráfica.

Nótese que la integral definida hallada es negativa y ello se debe a que y = 3(x – 1)(x – 3) es negativa entre los límites de integración x = 1 y x = 3. El área es el valor absoluto de -4 y por lo tanto es 4 unidad2.Ejemplo 4

Calcular el área entre dos curvas

Sin embargo, esta definición venía con restricciones. Requerimos que \(f(x)\Nsea continua y no negativa. Por desgracia, los problemas del mundo real no siempre cumplen estas restricciones. En esta sección, veremos cómo aplicar el concepto de área bajo la curva a un conjunto más amplio de funciones mediante el uso de la integral definida.

El símbolo de la integral en la definición anterior debería resultarnos familiar. Hemos visto una notación similar en el capítulo de Aplicaciones de las Derivadas, donde utilizamos el símbolo de integral indefinida (sin la a y la b arriba y abajo) para representar una antiderivada. Aunque la notación para integrales indefinidas puede parecer similar a la notación para una integral definida, no son lo mismo. Una integral definida es un número. Una integral indefinida es una familia de funciones. Más adelante en este capítulo examinaremos cómo se relacionan estos conceptos. Sin embargo, siempre hay que prestar mucha atención a la notación para saber si estamos trabajando con una integral definida o con una indefinida.