Cálculo integral de áreas planas problemas y soluciones
Contenido
Sin embargo cuando se trata del área bajo una curva por alguna razón cuando la divides en una cantidad infinita de rectángulos, mágicamente se convierte en la antiderivada. ¿Puede alguien explicar por qué esa es la definición de la integral y cómo Newton lo descubrió?
Primero: la integral se define como el área (con signo neto) bajo la curva. La definición en términos de sumas de Riemann está precisamente diseñada para lograr esto. La integral es un límite, un número. A priori, no hay ninguna relación con las derivadas. (Esta es una de las cosas que hace que los Teoremas Fundamentales del Cálculo sean algo potencialmente sorprendente).
¿Por qué el límite de las sumas de Riemann da en realidad el área bajo la gráfica? La idea de aproximar una forma cuya área no conocemos tanto por «arriba» como por «abajo» con áreas que sí conocemos se remonta a los griegos. Arquímedes dio límites para el valor de $\pi$ calculando las áreas de los polígonos inscritos y circunscritos en un círculo, sabiendo que el área del círculo estaría en algún lugar entre los dos; cuantos más lados tengan los polígonos, cuanto más cerca estén los polígonos interiores y exteriores del círculo, más cerca estarán las áreas del área del círculo.
Área entre curvas de Wolfram alpha
En Introducción a la integración, desarrollamos el concepto de integral definida para calcular el área bajo una curva en un intervalo dado. En esta sección, ampliamos esa idea para calcular el área de regiones más complejas. Comenzamos encontrando el área entre dos curvas que son funciones comenzando con el caso simple en el que un valor de la función es siempre mayor que el otro. A continuación, estudiamos los casos en los que las gráficas de las funciones se cruzan. Por último, consideramos cómo calcular el área entre dos curvas que son funciones de
Como hicimos antes, vamos a particionar el intervalo en el y aproximar el área entre las gráficas de las funciones con rectángulos. Así, para que sea una partición regular de Entonces, para elegir un punto y en cada intervalo construir un rectángulo que se extienda verticalmente desde hasta (Figura)(a) muestra los rectángulos cuando se selecciona para ser el punto final izquierdo del intervalo y (Figura)(b) muestra un rectángulo representativo en detalle.
Sean y funciones continuas tales que sobre un intervalo Denotemos la región limitada arriba por la gráfica de abajo por la gráfica de y a la izquierda y derecha por las líneas y respectivamente. Entonces, el área de viene dada por
Problemas de práctica del área entre dos curvas
\N – [\N – Comienza {align*} \int_{-1}^{1}big[ (1-y^2)-(y^2-1) \big] dy &= \int_{-1}^{1}(2-y^2) dy \\\big(2y-\dfrac{2}{3}y^3\big]_{-1}^1 \big(2-\dfrac{2}{3}\big)-\big(-2-\dfrac{2}{3} \big) \big &= \dfrac{8}{3}. \[\end{align*}]
\N – [\N – Inicio \int_{-1}^{0}\big[ 3(x^3-x)-0\big] dx +\int_{0}^{1}\big[0-3(x^3-x) \big] dx &= \left(\dfrac{3}{4}x^4-\dfrac{3x^2}{2}\right]_{-1}^0 – \Izquierda(\dfrac{3}{4}x^4-\dfrac{3x^2}{2}{punto final}]_0^1 \dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{2}{punto final} – \dfrac{3}{4}{punto final}{punto final}(\dfrac{3}{2}{punto final}) \dfrac{3}{punto final} \pend{align*}.\N-[\N-]
Sea \(y = f(x)\Nla función de demanda de un producto y \(y = g(x)\Nla función de oferta. Entonces definimos el punto de equilibrio como la intersección de las dos curvas. El excedente del consumidor se define por el área que está por encima del valor de equilibrio y por debajo de la curva de demanda, mientras que el excedente del productor se define por el área que está por debajo del valor de equilibrio y por encima de la curva de oferta.
Calcular el área entre dos curvas
Cómo encontrar el área bajo curvas utilizando integrales definidas; se presentan tutoriales, con ejemplos y soluciones detalladas. Al final de la página se presenta un conjunto de ejercicios con respuestas. También se incluyen tutoriales sobre el área entre curvas.
Si Δx en la aproximación anterior de la expresión del área se hace lo suficientemente pequeña, la suma de las áreas de los rectángulos se acercará al valor exacto del área bajo la curva. Por lo tanto, definimos el área de la siguiente manera:
Solución al Ejemplo 3Nótese que los límites de integración no están dados y por lo tanto es necesario un estudio detallado de la gráfica de la función dada. La gráfica de la función dada muestra que hay dos intercepciones de x que son fáciles de encontrar ya que la función dada está en forma factorizada: x = 1 y x = 2. La región finita está delimitada por la curva de y = 3(x – 1)(x – 3), x = 1, x = 3 y el eje x, como se muestra en la gráfica.
Nótese que la integral definida hallada es negativa y ello se debe a que y = 3(x – 1)(x – 3) es negativa entre los límites de integración x = 1 y x = 3. El área es el valor absoluto de -4 y por lo tanto es 4 unidad2.Ejemplo 4
