Calculadora de longitud de arco
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En esta sección, utilizamos las integrales definidas para encontrar la longitud de arco de una curva. Podemos pensar en la longitud de arco como la distancia que recorreríamos si camináramos por la trayectoria de la curva. Muchas aplicaciones del mundo real implican la longitud de arco. Si se lanza un cohete a lo largo de una trayectoria parabólica, podríamos querer saber qué distancia recorre el cohete. O, si una curva en un mapa representa una carretera, podríamos querer saber qué distancia tenemos que recorrer para llegar a nuestro destino.
Comenzamos calculando la longitud de arco de las curvas definidas como funciones de \( x\), luego examinamos el mismo proceso para las curvas definidas como funciones de \( y\). (El proceso es idéntico, con los papeles de \( x\) y \( y\) invertidos). Las técnicas que utilizamos para hallar la longitud de arco pueden extenderse para hallar la superficie de una superficie de revolución, y cerramos la sección con un examen de este concepto.
En las aplicaciones anteriores de la integración, hemos exigido que la función \( f(x)\Nsea integrable, o a lo sumo continua. Sin embargo, para el cálculo de la longitud de arco tenemos un requisito más estricto para \( f(x)\Nla función.) En este caso, exigimos que \( f(x)\) sea diferenciable y, además, que su derivada, \( f′(x),\) sea continua. Las funciones como ésta, que tienen derivadas continuas, se llaman suaves. (Esta propiedad vuelve a aparecer en capítulos posteriores).
Fórmula de longitud de arco integral
Considera la gráfica de y=sinx en [0,π] dada en la figura 10.1.1 (a). ¿Qué longitud tiene esta curva? Es decir, si utilizáramos un trozo de cuerda que se ajustara exactamente a la forma de esta curva, ¿qué longitud tendría la cuerda?
La longitud de los segmentos rectilíneos es fácil de calcular utilizando la fórmula de la distancia. Podemos aproximar la longitud de la curva dada aproximando la curva con líneas rectas y midiendo sus longitudes.
En la figura 10.1.1 (b), la curva y=sinx se ha aproximado con 4 segmentos de recta (el intervalo [0,π] se ha dividido en 4 subintervalos de igual longitud). Es evidente que estos cuatro segmentos de línea se aproximan muy bien a y=sinx en el primer y último subintervalo, aunque no tan bien en el medio. En cualquier caso, la suma de las longitudes de los segmentos de línea es 3,79, por lo que aproximamos la longitud de arco de y=sinx en [0,π] a 3,79.
En general, podemos aproximar la longitud de arco de y=f(x) en [a,b] de la siguiente manera. Sea a=x0<x1<…<xn-1<xn=b una partición de [a,b] en n subintervalos. Sea Δxi la longitud del i-ésimo subintervalo [xi-1,xi].
Preguntas y respuestas sobre la longitud de los arcos pdf
En esta sección, estudiamos las fórmulas relacionadas con las curvas tanto en dos como en tres dimensiones, y vemos cómo se relacionan con varias propiedades de la misma curva. Por ejemplo, supongamos que una función vectorial describe el movimiento de una partícula en el espacio. Queremos determinar la distancia que ha recorrido la partícula en un intervalo de tiempo determinado, que puede describirse mediante la longitud de arco de la trayectoria que sigue. O bien, supongamos que la función vectorial describe una carretera que estamos construyendo y queremos determinar la curvatura de la carretera en un punto determinado. Esto se describe mediante la curvatura de la función en ese punto. En esta sección exploramos cada uno de estos conceptos.
Hemos visto cómo una función vectorial describe una curva en dos o tres dimensiones. Recordemos que la fórmula de la longitud de arco de una curva definida por las funciones paramétricas \(x=x(t),y=y(t),t_1≤t≤t_2\) viene dada por
De forma similar, si definimos una curva suave mediante una función de valor vectorial \(\vecs r(t)=f(t) \hat{mathbf{i}+g(t) \hat{mathbf{j}}), donde \(a≤t≤b\), la longitud de arco viene dada por la fórmula
Longitud del arco de una curva
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En esta sección vamos a ver el cálculo de la longitud de arco de una función. Debido a que es bastante fácil derivar las fórmulas que usaremos en esta sección, derivaremos una de ellas y dejaremos la otra para que usted la derive.
Queremos determinar la longitud de la función continua \N(y = f\left( x \right)\Nen el intervalo \N(\left[ {a,b} \right]\N.) También tendremos que suponer que la derivada es continua en \N(\left[ {a,b} \right]\N).
Inicialmente tendremos que estimar la longitud de la curva. Lo haremos dividiendo el intervalo en \(n\) subintervalos iguales de \(\Delta x\) y denotaremos el punto de la curva en cada punto por Pi. Podemos entonces aproximar la curva mediante una serie de rectas que conecten los puntos. He aquí un esquema de esta situación para \(n = 9\).
