Calculadora del área bajo la curva
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En Introducción a la integración, desarrollamos el concepto de la integral definida para calcular el área bajo una curva en un intervalo dado. En esta sección, ampliamos esa idea para calcular el área de regiones más complejas. Comenzamos encontrando el área entre dos curvas que son funciones comenzando con el caso simple en el que un valor de la función es siempre mayor que el otro. A continuación, estudiamos los casos en los que las gráficas de las funciones se cruzan. Por último, consideramos cómo calcular el área entre dos curvas que son funciones de
Como hicimos antes, vamos a particionar el intervalo en el y aproximar el área entre las gráficas de las funciones con rectángulos. Así, para que sea una partición regular de Entonces, para elegir un punto y en cada intervalo construir un rectángulo que se extienda verticalmente desde hasta (Figura)(a) muestra los rectángulos cuando se selecciona para ser el punto final izquierdo del intervalo y (Figura)(b) muestra un rectángulo representativo en detalle.
Sean y funciones continuas tales que sobre un intervalo Denotemos la región limitada arriba por la gráfica de abajo por la gráfica de y a la izquierda y derecha por las líneas y respectivamente. Entonces, el área de viene dada por
Problemas de práctica del área bajo la curva
Para los ejercicios 38 – 47, encuentre el área exacta de la región delimitada por las ecuaciones dadas, si es posible. Si no puede determinar los puntos de intersección analíticamente, utilice una calculadora para aproximar los puntos de intersección con tres decimales y determine el área aproximada de la región.
48) El mayor triángulo con base en el eje \(x\) que cabe dentro de la mitad superior de la circunferencia unitaria \(y^2+x^2=1\) viene dado por \( y=1+x\) y \( y=1-x\). Observa la siguiente figura. ¿Cuál es el área dentro del semicírculo pero fuera del triángulo?
49) Una fábrica que vende teléfonos móviles tiene una función de coste marginal \(C(x)=0,01x^2-3x+229\), donde \(x\) representa el número de teléfonos móviles, y una función de ingreso marginal dada por \(R(x)=429-2x.\) Halla el área entre las gráficas de estas curvas y \(x=0,\) ¿Qué representa esta área?
50) Un parque de atracciones tiene una función de coste marginal \(C(x)=1000e-x+5\), donde \(x\) representa el número de entradas vendidas, y una función de ingreso marginal dada por \(R(x)=60-0,1x\). Encuentre el beneficio total generado al vender \(550\) entradas. Utilice una calculadora para determinar los puntos de intersección, si es necesario, con dos decimales.
Cálculo integral de áreas planas problemas y soluciones
Cómo encontrar el área bajo curvas utilizando integrales definidas; se presentan tutoriales, con ejemplos y soluciones detalladas. Al final de la página se presenta un conjunto de ejercicios con respuestas. También se incluyen tutoriales sobre el área entre curvas.
Si Δx en la aproximación anterior de la expresión del área se hace lo suficientemente pequeña, la suma de las áreas de los rectángulos se acercará al valor exacto del área bajo la curva. Por lo tanto, definimos el área de la siguiente manera:
Solución al Ejemplo 3Nótese que los límites de integración no están dados y por lo tanto es necesario un estudio detallado de la gráfica de la función dada. La gráfica de la función dada muestra que hay dos intercepciones de x que son fáciles de encontrar ya que la función dada está en forma factorizada: x = 1 y x = 2. La región finita está delimitada por la curva de y = 3(x – 1)(x – 3), x = 1, x = 3 y el eje x, como se muestra a continuación en la gráfica.
Nótese que la integral definida hallada es negativa y ello se debe a que y = 3(x – 1)(x – 3) es negativa entre los límites de integración x = 1 y x = 3. El área es el valor absoluto de -4 y por lo tanto es 4 unidad2.Ejemplo 4
Área entre curvas problemas y soluciones pdf
El área bajo la curva se calcula por diferentes métodos, de los cuales el más popular es el método de la antiderivada para encontrar el área. El área bajo la curva se puede encontrar conociendo la ecuación de la curva, los límites de la misma y el eje que la encierra. Por lo general, disponemos de fórmulas para hallar las áreas de figuras regulares como el cuadrado, el rectángulo, el cuadrilátero, el polígono o el círculo, pero no existe una fórmula definida para hallar el área bajo la curva. El proceso de integración ayuda a resolver la ecuación y encontrar el área requerida.
Para hallar las áreas de superficies planas irregulares son muy útiles los métodos de las antiderivadas. Aquí aprenderemos a encontrar el área bajo la curva con respecto al eje, a encontrar el área entre una curva y una recta y a encontrar el área entre dos curvas.
El área bajo la curva se puede calcular mediante tres sencillos pasos. En primer lugar, hay que conocer la ecuación de la curva (y = f(x)), los límites a través de los cuales se va a calcular el área y el eje que encierra el área. En segundo lugar, tenemos que encontrar la integración (antiderivada) de la curva. Por último, hay que aplicar el límite superior y el límite inferior a la respuesta integral y tomar la diferencia para obtener el área bajo la curva.
