Integral definida de función a trozos
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En las dos secciones anteriores hemos visto la integral definida y su relación con el área bajo la curva de una función. Desgraciadamente, hasta ahora, las únicas herramientas de las que disponemos para calcular el valor de una integral definida son las fórmulas geométricas del área y los límites de las sumas de Riemann, y ambos enfoques son extremadamente engorrosos. En esta sección veremos algunas técnicas más potentes y útiles para evaluar integrales definidas.
Estas nuevas técnicas se basan en la relación entre la diferenciación y la integración. Esta relación fue descubierta y explorada por Sir Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz (entre otros) a finales de 1600 y principios de 1700, y está codificada en lo que ahora llamamos el Teorema Fundamental del Cálculo, que tiene dos partes que examinamos en esta sección. Su propio nombre indica lo central que es este teorema para todo el desarrollo del cálculo.
Las aportaciones de Isaac Newton a las matemáticas y la física cambiaron nuestra forma de ver el mundo. Las relaciones que descubrió, codificadas como las leyes de Newton y la ley de la gravitación universal, se siguen enseñando hoy en día como material fundamental en física, y su cálculo ha dado lugar a campos enteros de las matemáticas. Para saber más, lea una breve biografía de Newton con clips multimedia.
Integral de valor absoluto
Sin embargo, esta definición venía con restricciones. Se requería que fuera continua y no negativa. Por desgracia, los problemas del mundo real no siempre cumplen estas restricciones. En esta sección, veremos cómo aplicar el concepto de área bajo la curva a un conjunto más amplio de funciones mediante el uso de la integral definida.
El símbolo de la integral en la definición anterior debería resultarnos familiar. Hemos visto una notación similar en el capítulo de Aplicaciones de las Derivadas, donde utilizamos el símbolo de la integral indefinida (sin el y por encima y por debajo) para representar una antiderivada. Aunque la notación para integrales indefinidas puede parecer similar a la notación para una integral definida, no son lo mismo. Una integral definida es un número. Una integral indefinida es una familia de funciones. Más adelante en este capítulo examinaremos cómo se relacionan estos conceptos. Sin embargo, siempre hay que prestar mucha atención a la notación para saber si estamos trabajando con una integral definida o con una indefinida.
Transformación de Laplace de una función a trozos, apartado 7.2#11
20) Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha -L_4- y R_4-, respectivamente, para f(x)=(2-|x|)\Nen \N[-2,2].\NCalcule su valor medio y compárelo con el área bajo la gráfica de f(f).
21) Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha -L_6\N y R_6\N, respectivamente- para f(x)=(3-|3-x|)\Nen \N[0,6].\NCalcule su valor medio y compárelo con el área bajo la gráfica de f(f).
En los ejercicios 28 – 33, grafique la función y luego utilice una calculadora o un programa de ordenador para evaluar las siguientes sumas de los extremos izquierdo y derecho. ¿Es el área bajo la curva entre las sumas de los extremos izquierdo y derecho?
La gráfica muestra que la suma de Riemann izquierda es una subestimación porque la función es creciente. Del mismo modo, la suma de Riemann de la derecha es una sobreestimación. El área se encuentra entre las sumas de Riemann izquierda y derecha. Se muestran diez rectángulos para mayor claridad visual. Este comportamiento persiste para más rectángulos.
La suma del extremo izquierdo es una subestimación porque la función es creciente. Del mismo modo, la aproximación del extremo derecho es una sobreestimación. El área se encuentra entre las estimaciones del punto final izquierdo y derecho.
Integral del valor absoluto de x o abs(x)
puede ser evaluada. Esto se hace en detalle para la convolución de un impulso rectangular y una exponencial. A continuación se presentan varios ejemplos que describen cómo determinar los límites de las integraciones que deben utilizarse al convolucionar funciones a trozos.
Ahora vamos a discutir cómo podemos encontrar una solución exacta a este problema, que no siempre es sencillo con las funciones que se definen a trozos. Para encontrar la salida del sistema con respuesta al impulso
Cuando las funciones f(t) y/o h(t) están definidas a trozos suele ser difícil determinar los límites de integración. Para desarrollar su capacidad de hacer esto se dan varios ejemplos a continuación, cada uno con un número diferente de «regiones» para la integral de convolución. Las integrales no se realizan realmente, sólo se dan los límites de integración para cada región. Para determinar la integral sólo hay que sustituir f(λ) y h(t-λ). En todos los casos hay una región trivial, t<0, donde $\int_{ – \infty }^t {f\left( \lambda \right)h\left( {t – \lambda } \right)d\lambda } = 0$. Haga clic en cualquiera de los ejemplos que aparecen a continuación (el texto de la parte izquierda de la página) para mostrarlo u ocultarlo. Cada uno de los ejemplos tiene también un enlace a una demostración interactiva que le permitirá variar t así como ver la salida de la convolución.
