Ejemplos y soluciones de integración por partes
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A estas alturas tenemos un procedimiento bastante completo de cómo evaluar muchas integrales básicas. Sin embargo, aunque podemos integrar \(∫x \sin (x^2)\\sin,dx\) utilizando la sustitución, \(u=x^2\sin), algo de aspecto tan simple como \(∫x\sin x\sin,\sin,dx\) nos desafía. Muchos estudiantes quieren saber si existe una regla del producto para la integración. No la hay, pero existe una técnica basada en la regla del producto para la diferenciación que nos permite cambiar una integral por otra. A esta técnica la llamamos integración por partes.
Llegados a este punto, es probable que haya que aclarar algunas cosas. En primer lugar, puede que tengas curiosidad por saber qué habría pasado si hubiéramos elegido \(u=\sin x\) y \(dv=x\). Si lo hubiéramos hecho, entonces tendríamos \(du=\cos x\) y \(v=dfrac{1}{2}x^2\). Así, después de aplicar la integración por partes (Ecuación \ref{IBP}), tenemos
Desgraciadamente, con la nueva integral, no estamos en mejor posición que antes. Es importante tener en cuenta que cuando aplicamos la integración por partes, es posible que tengamos que probar varias opciones para \ (u\) y \ (dv\) antes de encontrar una opción que funciona.
Problemas de integración por partes con soluciones pdf
Al utilizar la técnica de integración por partes, debe elegir cuidadosamente qué expresión es \(u\). Para cada uno de los siguientes problemas, utilice las directrices de esta sección para elegir \(u\). No evalúe las integrales.
En los ejercicios 48 – 50, derive las siguientes fórmulas utilizando la técnica de integración por partes. Suponga que \(n\) es un número entero positivo. Estas fórmulas se llaman fórmulas de reducción porque el exponente del término \(x\) se ha reducido en uno en cada caso. La segunda integral es más sencilla que la integral original.
En los ejercicios 52 – 57, indique si utilizaría la integración por partes para evaluar la integral. En caso afirmativo, identifique \ (u\) y \ (dv\). En caso contrario, describa la técnica utilizada para realizar la integración sin hacer el problema.
En los ejercicios 58-59, dibuje la región delimitada arriba por la curva, el eje \(x\) y \(x=1\), y encuentre el área de la región. Proporcione la forma exacta o redondee las respuestas al número de lugares indicado.
En los ejercicios 60 – 61, encuentre el volumen generado al girar la región delimitada por las curvas dadas alrededor de la línea especificada. Exprese las respuestas de forma exacta o aproximada al número de decimales indicado.
Ejercicios de integración con respuestas pdf
La idea detrás de la fórmula de integración por partes es que nos permite reordenar la integral inicial de tal manera que terminamos teniendo que encontrar una integral alternativa, que es más simple de encontrar, o trabajar con ella.
Comenzamos aprendiendo la fórmula de integración por partes, tanto para la integración indefinida como para la definida. Luego vemos un tutorial detallado para consolidar nuestros conocimientos y hacemos un par de ejercicios para comprobar si lo hemos entendido.
Hay dos fórmulas con las que debemos sentirnos cómodos. La primera es la fórmula de la integral indefinida para la integración por partes (también conocida como fórmula de la antiderivada), y la segunda es la fórmula de la integral definida.
Integración por partes ejemplos duros
Al utilizar el método de integración por partes, por comodidad siempre elegiremos al determinar una función (Realmente estamos encontrando una antiderivada cuando hacemos esto.) de una diferencial dada. Por ejemplo, si la diferencial de es
Esta fórmula se deduce fácilmente de la regla del producto ordinario y del método de la sustitución en u. Teóricamente, si una integral es demasiado «difícil» de hacer, la aplicación del método de integración por partes transformará esta integral (lado izquierdo de la ecuación) en la diferencia del producto de dos funciones y en una nueva integral «más fácil» (lado derecho de la ecuación). Se supone que estás familiarizado con las siguientes reglas de diferenciación.
La mayoría de los siguientes problemas son medios. Unos pocos son desafiantes. Utiliza con cuidado y precisión la notación diferencial y ten cuidado al simplificar aritmética y algebraicamente las expresiones.
