Problemas resueltos de integrales múltiples pdf
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Las integrales triples pueden evaluarse en seis órdenes diferentesHay seis formas de expresar una integral triple iterada. Mientras que la función f(x,y,z) dentro de la integral siempre permanece igual, el orden de integración cambiará, y los límites de integración cambiarán para coincidir con el orden.
Es mejor encontrar todos los límites de integración que necesitarás antes de empezar a escribir todas las integrales. La forma más fácil de mantener los límites de integración organizados es con la tabla de abajo.
Antes de continuar, fíjate en que hemos encontrado dos límites de integración en cada sección de la tabla anterior, excepto en la fila de «y». En este tipo de problemas suele ocurrir que tienes una variable para la que sólo puedes encontrar un límite de integración, pero normalmente puedes encontrar el otro volviendo a la pregunta que se nos hizo al principio. En este caso, nos dijeron que «y=0», así que podemos usar «y=0» como segundo límite de integración. Revisaremos la gráfica añadiendo esto.
Preguntas de integración doble con soluciones pdf
Identifique las cantidades determinadas por las expresiones integrales de los ejercicios 19-24. Si x, y y z se miden en centímetros y ρ(x, y,z) es una función de densidad en gramos por centímetro cúbico en la región tridimensional , dar las unidades de la expresión.
Hallar las masas de los sólidos descritos en los ejercicios 53-56.El sólido de primera octante limitado por los planos de coordenadas y el plano 3x + 4y + 6z = 12 si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia del punto al plano xz.
Integral iterada frente a integral doble
La constante de integración será \(C(y)\Nya que \Nse considera una constante en la integración y por lo tanto, la función original \N(f\N) podría tener términos que son funciones de \N(y\N) que se perdieron al tomar la derivada parcial con respecto a la variable \N(x\N).
(b) \(\N-int_{-3}^2 \N-int_2^5 (6x^2+4xy-3y^2)\N-, dy\N, dx\N) \(=cuadrado estiloint_3^2 izquierda (18x^2 +42x – 117 derecha), dx) \(=cuadrado izquierda(6x^3 + 21x^2 -117x\a la derecha)\bigg|_{-3}^2) \(=cuadrado 48 + 84 – 234 – (-162 +189 +351)) \(=cuadrado -102 – 378)\N-(=cuadrado -480)\N-)
(a) \(=cuadrado \int_1^x (x^2y+2)\Ny,dy\) \(= cuadrado izquierdo (frac {x^2y^2}{2} – frac {y^2}{2} + 2y\ derecho) \N – (= \N – cuadrado \frac{x^4}{2} – \frac{x^2}{2} + 2x – (\frac{x^2}{2} – \frac{1}{2} + 2)\f) \(=cuadrado \frac{x^4}{2} – x^2 + 2x – \frac{3}{2})
(b) \(\displaystyle \int_0^2 \int_1^x (x^2y+2)\\Ny, dy\,dx\) \(=cuadrado \Ndel estilo de visualización \int_{0}^2 a la izquierda( \frac{x^4}{2} – x^2 + 2x – \frac{3}{2} a la derecha)\N, dx) \(=cuadra izquierda (frac{x^5}{10} – frac{x^3}{3} + x^2 – frac{3}{2}x\a la derecha), dx) \(=cuadrado \frac{32}{10} – \frac{8}{3} + 4 – 3 – 0\) \(=cuadrado \frac{96}{30} – \frac{80}{30} + \frac{30}{30}) \(=cuadrado \dfrac{23}{15})
Reescribir la integral iterada
La herramienta más potente para la evaluación de las integrales dobles es el teorema de Fubini. No funciona para una región general R sino para algunas regiones especiales que llamamos Regiones de tipo I o de tipo II.
\N – [\N – límites_0^1 {\N – límites_1^2 {xydydx} } = \int\limits_0^1 {\int\limits_1^2 {xydy} } \right]dx} = \int\limits_0^1 {\left[ {x\left. {\left( {\frac{{y^2}}{2} \right)} \right|_1^2} \right]dx} = \int\limits_0^1 {\frac{3}{2}dx} = \frac{3}{2}left. {\left( {\frac{{x^2}}{2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{4}.\N-]
\[\int\limits_0^1 {\int\limits_y^{{y^2}} {\left( {x + 2y} \right)dxdy} } = \int\limits_0^1 {\int\limits_y^{y^2} {\left( {x + 2y} \right)dx} } \right]dy} = \int\limits_0^1 {\left[ {\left. {left( {\frac{{x^2}}{2} + 2yx} \right)} \right|_y^{y^2}} dy} = \int\\\\Nlimits_0^1 {\left[ {\left( {\frac{{y^4}}{2} + 2{y^3}} \right) – \left( {\frac{{y^2}}{2} + 2{y^2}} \right)} \right]dy} = \intlimits_0^1 {\left[ {\frac{{y^4}}{2} + 2{y^3}} – \frac{5{y^2}}{2}} \right]dy} = \left. {\left[ {\frac{y^5}}{10}} + \frac{{y^4}}{2} – \frac{5{y^3}}{6} \right]} |0^1 = \frac{1}{10}} + \frac{1}{2} – \frac{5}{6} = – \frac{7}{30}}.
