En esta sección veremos cómo integrar una variedad de productos de funciones trigonométricas. Estas integrales se llaman integrales trigonométricas. Son una parte importante de la técnica de integración llamada sustitución trigonométrica, que aparece en Sustitución trigonométrica. Esta técnica nos permite convertir expresiones algebraicas que quizá no podamos integrar en expresiones que implican funciones trigonométricas, que podremos integrar utilizando las técnicas descritas en esta sección. Además, este tipo de integrales aparecen con frecuencia cuando estudiamos más adelante los sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Comencemos nuestro estudio con los productos de \(\sin x\) y \(\cos x.\)
Una idea clave detrás de la estrategia utilizada para integrar combinaciones de productos y potencias de \(\sin x\) y \(\cos x\) implica reescribir estas expresiones como sumas y diferencias de integrales de la forma \(∫\sin^jx\cos x\,dx\) o \(∫\cos^jx\sin x\,dx\). Después de reescribir estas integrales, las evaluamos utilizando la sustitución \(u\). Antes de describir el proceso general en detalle, veamos los siguientes ejemplos.
Integración por sustitución trigonométrica ejemplos y soluciones pdf
Las potencias del seno y del coseno son impares. Por lo tanto, podemos utilizar la sustitución \(u = \sin x\) o \(u = \cos x.\) Vamos a aplicar la sustitución \(u = \sin x.\) Entonces \(du = \cos x dx,\) y la integral se convierte en
Integración de funciones trigonométricas ppt
En esta sección, exploramos las integrales que contienen expresiones de la forma a2-x2,a2-x2, a2+x2,a2+x2, y x2-a2,x2-a2, donde los valores de aa son positivos. Ya hemos encontrado y evaluado integrales que contienen algunas expresiones de este tipo, pero muchas siguen siendo inaccesibles. La técnica de la sustitución trigonométrica resulta muy útil para evaluar estas integrales. Esta técnica utiliza la sustitución para reescribir estas integrales como integrales trigonométricas.
Antes de desarrollar una estrategia general para las integrales que contienen a2-x2,a2-x2, considere la integral ∫9-x2dx.∫9-x2dx. Esta integral no se puede evaluar con ninguna de las técnicas que hemos discutido hasta ahora. Sin embargo, si hacemos la sustitución x=3sinθ,x=3sinθ, tenemos dx=3cosθdθ.dx=3cosθdθ. Después de sustituir en la integral, tenemos
En este punto, podemos evaluar la integral utilizando las técnicas desarrolladas para integrar potencias y productos de funciones trigonométricas. Antes de completar este ejemplo, echemos un vistazo a la teoría general que hay detrás de esta idea.
Ejemplos y soluciones de integrales trigonométricas
Las funciones formadas por potencias del seno y del coseno pueden integrarse mediante sustitución e identidades trigonométricas. A veces puede resultar tedioso, pero la técnica es sencilla. Una técnica similar es aplicable a las potencias de la secante y la tangente, como se muestra en el apartado 2.2.2 (y también a la cosecante y la cotangente, que no se tratan aquí). Un ejemplo será suficiente para explicar el enfoque.
Obsérvese que al tomar la sustitución \(u=\cos x\) en el último ejemplo, terminamos con una potencia par del seno a partir de la cual podemos usar la fórmula \(\sin^2x+\cos^2x=1\) para reemplazar cualquier seno restante. Entonces terminamos con un polinomio en \(u\) en el que podemos expandir e integrar con bastante facilidad. Fíjate en que la sustitución «obvia» \(u=sin x\) en la integral original no conduce a ninguna simplificación útil.
Entonces usamos la sustitución \(u=sin x\) ya que la derivada de \(\sin x\) es \(\cos x\text{,}\) y también porque sólo hay una ocurrencia de coseno en el integrando. Por lo tanto, \(du=\cos x\,dx\) es la sustitución perfecta.
