Integrales trigonométricas ejercicios resueltos pdf

Ejemplos y soluciones de integrales trigonométricas

En esta sección veremos cómo integrar una serie de productos de funciones trigonométricas. Estas integrales se llaman integrales trigonométricas. Son una parte importante de la técnica de integración llamada sustitución trigonométrica, que aparece en Sustitución trigonométrica. Esta técnica nos permite convertir expresiones algebraicas que quizá no podamos integrar en expresiones que implican funciones trigonométricas, que podremos integrar utilizando las técnicas descritas en esta sección. Además, este tipo de integrales aparecen con frecuencia cuando estudiamos más adelante los sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Comencemos nuestro estudio con los productos de \(\sin x\) y \(\cos x.\)

Una idea clave detrás de la estrategia utilizada para integrar combinaciones de productos y potencias de \(\sin x\) y \(\cos x\) implica reescribir estas expresiones como sumas y diferencias de integrales de la forma \(∫\sin^jx\cos x\,dx\) o \(∫\cos^jx\sin x\,dx\). Después de reescribir estas integrales, las evaluamos utilizando la sustitución \(u\). Antes de describir el proceso general en detalle, veamos los siguientes ejemplos.

Problemas de práctica de integrales de funciones trigonométricas inversas

\I = \int {{sin^6}xdx} = \int {{Izquierda( {{sin^2}x} ^3}dx} = \frac{1}{8}{punto} {{Izquierda( {1 – \cos 2x} \right)}^3}dx} = \frac{1}{8}{punto} {Izquierda( {1 – 3\cos 2x + 3\\ {{cos}^2}2x – {{cos}^3}2x} \right)dx} = \frac{x}{8} – \frac{3}{8} \cdot \frac{{sin 2x}{2} + \frac{3}{8}int {{cos^2}2xdx} – \frac{3}{8}int {{cos^3}2xdx}. \]

\N-int {{cos^2}2xdx} = \frac {{1 + \cos 4x}{2}dx} = \frac{1}{2}int {{1 + \cos 4x}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{5} + \frac{{sin 4x}} {8}.\f]

Las potencias del seno y del coseno son impares. Por lo tanto, podemos utilizar la sustitución \(u = \sin x\) o \(u = \cos x.\) Vamos a aplicar la sustitución \(u = \sin x.\) Entonces \(du = \cos x dx,\) y la integral se convierte en

Ejemplos de integración de medio ángulo pdf

Tanto la condición de continuidad como el intervalo cerrado deben cumplirse para poder utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo, y en este caso, \ds(\int_a^b f(x)\\\Ndx) representa el área neta bajo \(f(x)\Ndesde \Na) hasta \Nb.

Sin embargo, ¡la respuesta anterior es INCORRECTA! Como \(f(x)=1/x^2\) no es continua en \([-1,~1]\text{,}\) no podemos aplicar directamente el Teorema Fundamental del Cálculo. Intuitivamente, podemos ver por qué \(-2\) no es la respuesta correcta observando la gráfica de \(f(x)=1/x^2\) en \([-1,~1]\text{.}) El área sombreada parece crecer sin límite como se ve en la figura siguiente.

La formalización de este ejemplo nos lleva al concepto de integral impropia. Hay dos maneras de extender el Teorema Fundamental del Cálculo. Una es utilizar un intervalo infinito, es decir, \([a,\infty)\text{,}\) \((-\infty,b]\\N o \((-\infty,\infty)\Ntexto{,}) La segunda es permitir que el intervalo \([a,b]\) contenga una discontinuidad infinita de \(f(x)\text{.}} En cualquiera de los dos casos, la integral se denomina integral impropia. Una de las aplicaciones más importantes de este concepto son las distribuciones de probabilidad, ya que la determinación de cantidades como la distribución acumulativa o el valor esperado suelen requerir integrales sobre intervalos infinitos.

Límites de funciones trigonométricas ejemplos y soluciones pdf

En esta sección, exploramos las integrales que contienen expresiones de la forma a2-x2,a2-x2, a2+x2,a2+x2, y x2-a2,x2-a2, donde los valores de aa son positivos. Ya hemos encontrado y evaluado integrales que contienen algunas expresiones de este tipo, pero muchas siguen siendo inaccesibles. La técnica de la sustitución trigonométrica es muy útil para evaluar estas integrales. Esta técnica utiliza la sustitución para reescribir estas integrales como integrales trigonométricas.

Antes de desarrollar una estrategia general para las integrales que contienen a2-x2,a2-x2, considere la integral ∫9-x2dx.∫9-x2dx. Esta integral no se puede evaluar con ninguna de las técnicas que hemos discutido hasta ahora. Sin embargo, si hacemos la sustitución x=3sinθ,x=3sinθ, tenemos dx=3cosθdθ.dx=3cosθdθ. Después de sustituir en la integral, tenemos

En este punto, podemos evaluar la integral utilizando las técnicas desarrolladas para integrar potencias y productos de funciones trigonométricas. Antes de completar este ejemplo, echemos un vistazo a la teoría general que hay detrás de esta idea.