Teorema fundamental del cálculo vectorial
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Hay dos teoremas fundamentales del cálculo. La integral definida puede utilizarse para definir nuevas funciones. El Primer Teorema Fundamental del Cálculo muestra cómo diferenciar este tipo de funciones.
El cálculo de esta derivada es similar al ejemplo anterior, excepto que hay funciones en ambos límites de integración. Para poner este problema en una forma en la que se pueda utilizar el resultado general del ejemplo 2, reescriba la integral definida como
El Primer Teorema Fundamental del Cálculo se utiliza para definir las antiderivadas en términos de integrales definidas. Alternativamente, este resultado proporciona una nueva fórmula de diferenciación cuando los límites de la integración son funciones de la variable independiente.
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Teorema fundamental de la aritmética
El teorema fundamental del cálculo (FTC) nos indica la conexión entre la diferenciación y la integración. Esta conexión fue descubierta por Sir Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz a finales de 1600. Hay dos partes de la FTC: FTC 1 y FTC 2
Somos conscientes de que la diferenciación y la integración son procesos inversos el uno del otro y la primera FTC lo justifica. También sabemos que una integral definida se evalúa primero evaluando la integral indefinida y luego sustituyendo los límites superior e inferior, y este proceso lo justifica la segunda FTC.
Hay dos partes del teorema fundamental del cálculo. Estos teoremas son poderosos ya que son útiles para evaluar la integral definida (o son útiles para calcular el área entre las curvas) sin utilizar las sumas de Riemann. Estos son los enunciados de los teoremas fundamentales del cálculo.
El primer teorema fundamental del cálculo (FTC Parte 1) se utiliza para hallar la derivada de una integral, por lo que define la conexión entre la derivada y la integral. Usando este teorema, podemos evaluar la derivada de una integral definida sin evaluar realmente la integral definida. El primer teorema fundamental del cálculo (FTC 1) se enuncia como sigue.
Segundo teorema fundamental del cálculo
En la sección 4.4 aprendimos el Teorema Fundamental del Cálculo (FTC), que de aquí en adelante se denominará Primer Teorema Fundamental del Cálculo, ya que en esta sección desarrollamos un resultado correspondiente que le sigue. Recordemos que el Primer FTC nos dice que si \(f\) es una función continua en \([a,b]\) y \(F\) es cualquier antiderivada de \(f\) (es decir, \(F’ = f\)), entonces
Por lo tanto, la Primera FTC se puede utilizar de dos maneras. En primer lugar, para hallar la diferencia \(F(b) – F(a)\Nde una antiderivada \N(F\) del integrando \N(f\text{,}\Naunque no tengamos una fórmula para \Nla propia F\N. Para ello, debemos conocer con exactitud el valor de la integral \(\int_a^b f(x) \, dx\), quizás a través de fórmulas geométricas conocidas para el área. Además, la Primera FTC proporciona una manera de encontrar el valor exacto de una integral definida, y por lo tanto una cierta área neta con signo exactamente, encontrando una antiderivada del integrando y evaluando su cambio total sobre el intervalo. En este caso, necesitamos conocer una fórmula para la antiderivada \(F\text{.}\} Ambas perspectivas se reflejan en la figura 5.2.1.
Prueba del segundo teorema del valor medio de las integrales
El teorema fundamental del cálculo es un teorema que relaciona el concepto de diferenciar una función (calcular el gradiente) con el concepto de integrar una función (calcular el área bajo la curva). Las dos operaciones son inversas entre sí, aparte de un valor constante que depende de dónde se empiece a calcular el área.
La primera parte del teorema, a veces llamado primer teorema fundamental del cálculo, afirma que una de las antiderivadas (también conocida como integral indefinida), digamos F, de alguna función f puede obtenerse como la integral de f con una variable límite de integración. Esto implica la existencia de antiderivadas para funciones continuas[1].
A la inversa, la segunda parte del teorema, a veces llamado segundo teorema fundamental del cálculo, afirma que la integral de una función f sobre algún intervalo puede calcularse utilizando cualquiera, digamos F, de sus infinitas antiderivadas. Esta parte del teorema tiene aplicaciones prácticas clave, porque encontrar explícitamente la antiderivada de una función mediante integración simbólica evita la integración numérica para calcular integrales.
