Calculadora de integrales iteradas
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La herramienta más potente para la evaluación de las integrales dobles es el teorema de Fubini. No funciona para una región general R sino para algunas regiones especiales que llamamos Regiones de tipo I o de tipo II.
\N – [\N – límites_0^1 {\N – límites_1^2 {xydydx} } = \int\limits_0^1 {\int\limits_1^2 {xydy} } \right]dx} = \int\limits_0^1 {\left[ {x\left. {\left( {\frac{{y^2}}{2} \right)} \right|_1^2} \right]dx} = \int\limits_0^1 {\frac{3}{2}dx} = \frac{3}{2}left. {\left( {\frac{{x^2}}{2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{4}.\N-]
\[\int\limits_0^1 {\int\limits_y^{{y^2}} {\left( {x + 2y} \right)dxdy} } = \int\limits_0^1 {\int\limits_y^{y^2} {\left( {x + 2y} \right)dx} } \right]dy} = \int\limits_0^1 {\left[ {\left. {left( {\frac{{x^2}}{2} + 2yx} \right)} \right|_y^{y^2}} dy} = \int\\\\Nlimits_0^1 {\left[ {\left( {\frac{{y^4}}{2} + 2{y^3}} \right) – \left( {\frac{{y^2}}{2} + 2{y^2}} \right)} \right]dy} = \intlimits_0^1 {\left[ {\frac{{y^4}}{2} + 2{y^3}} – \frac{5{y^2}}{2}} \right]dy} = \left. {\left[ {\frac{y^5}}{10}} + \frac{{y^4}}{2} – \frac{5{y^3}}{6} \right]} |0^1 = \frac{1}{10}} + \frac{1}{2} – \frac{5}{6} = – \frac{7}{30}}.
Integrales dobles e iteradas sobre rectángulos
La integral doble dada es :-donde Sabemos que :-.Entonces tenemos :-Entonces podemos separar esta en dos integrales dobles como sigue :-donde Entonces usando el Teorema de Fubini, podemos escribir esta integral doble como sigue :-Entonces usando integrales iteradas, tenemos :-Ahora podemos resolver esta integral como sigue :-
En los ejercicios 57-60, sea R el sólido rectangular definido porR = {(x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 2}.Suponga que la densidad en cada punto de R es proporcional a la distancia del punto al plano xy.(a) Sin utilizar el cálculo, explique por qué las coordenadas x e y del centro de masa son
Integral triple ejemplos resueltos pdf
Las integrales triples pueden evaluarse en seis órdenes diferentesHay seis formas de expresar una integral triple iterada. Mientras que la función f(x,y,z) dentro de la integral siempre permanece igual, el orden de integración cambiará, y los límites de integración cambiarán para coincidir con el orden.
Es mejor encontrar todos los límites de integración que necesitarás antes de empezar a escribir todas las integrales. La forma más fácil de mantener los límites de integración organizados es con la tabla de abajo.
Antes de continuar, fíjate en que hemos encontrado dos límites de integración en cada sección de la tabla anterior, excepto en la fila de «y». En este tipo de problemas suele ocurrir que tienes una variable para la que sólo eres capaz de encontrar un límite de integración, pero normalmente puedes encontrar el otro volviendo a la pregunta que nos hicieron al principio. En este caso, nos dijeron que «y=0», así que podemos usar «y=0» como segundo límite de integración. Revisaremos el gráfico añadiendo esto.
Problemas de integración doble
En el capítulo anterior vimos que podíamos diferenciar funciones de varias variables con respecto a una variable, mientras tratábamos todas las demás variables como constantes o coeficientes. Podemos integrar funciones de varias variables de forma similar. Por ejemplo, si nos dicen que \(f_x(x,y) = 2xy\), podemos tratar \(y\) como si se mantuviera constante e integrar para obtener \(f(x,y)\):
Anote cuidadosamente la constante de integración, \(C\). Esta «constante» es algo con una derivada de \(0\) con respecto a \(x\), por lo que podría ser cualquier expresión que contenga sólo constantes y funciones de \(y\). Por ejemplo, si \(f(x,y) = x^2y+ \sin y + y^3 + 17\), entonces \(f_x(x,y) = 2xy\). Para significar que \(C\) es en realidad una función de \(y\), escribimos:
Obsérvese que al integrar con respecto a \(x\), los límites son funciones de \(y\) (de la forma \(x=h_1(y)\) y \(x=h_2(y)\)) y el resultado final es también función de \(y\). Al integrar con respecto a \(y\), los límites son funciones de \(x\) (de la forma \(y=g_1(x)\) y \(y=g_2(x)\)) y el resultado final es una función de \(x\). Otro ejemplo nos ayudará a entenderlo.
