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El teorema del valor medio es uno de los teoremas más importantes del cálculo. Al final de esta sección veremos algunas de sus implicaciones. En primer lugar, empecemos con un caso especial del teorema del valor medio, llamado teorema de Rolle.
Informalmente, el teorema de Rolle afirma que si las salidas de una función diferenciable son iguales en los puntos extremos de un intervalo, entonces debe haber un punto interior donde (Figura) ilustra este teorema.
Caso 2: Como es una función continua sobre el intervalo cerrado y acotado por el teorema del valor extremo, tiene un máximo absoluto. Además, como hay un punto tal que el máximo absoluto es mayor que Por lo tanto, el máximo absoluto no ocurre en ninguno de los extremos. Como resultado, el máximo absoluto debe ocurrir en un punto interior Porque tiene un máximo en un punto interior y es diferenciable en por el teorema de Fermat,
Un punto importante del teorema de Rolle es que la diferenciabilidad de la función es crítica. Si no es diferenciable, incluso en un solo punto, el resultado puede no ser válido. Por ejemplo, la función es continua sobre y pero para cualquier como se muestra en la siguiente figura.
Prueba del teorema de Rolle
Supongamos que una función f (x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b). Entonces, si f (a) = f (b), existe al menos un punto c en el intervalo abierto (a, b) para el que f ‘(c) = 0.
Sea definida una función \a (f\a izquierda( x \a derecha)\a) en una vecindad del punto \a ({x_0}) y diferenciable en este punto. Entonces, si la función \a (f\a izquierda( x \a derecha)\a) tiene un extremo local en \a ({x_0},\a) entonces
Consideremos ahora el teorema de Rolle en una presentación más rigurosa. Sea una función \a(y = f\a izquierda( x \a derecha)\a) continua en un intervalo cerrado \a(\a izquierda[ {a,b} \a derecha],\a) diferenciable en el intervalo abierto \a(\a izquierda( {a,b} \a derecha),\a) y toma los mismos valores en los extremos del segmento:
Si la función \(f\left( x \right)\Nes constante en el intervalo \(\left[ {a,b} \right],\Nentonces la derivada es nula en cualquier punto del intervalo \(\left( {a,b} \right),\Nes decir, en este caso la afirmación es verdadera.
Si la función \a(f\a izquierda( x \a derecha)\a) no es constante en el intervalo \a(\a izquierda[ {a,b} \a derecha],\a) entonces por el teorema de Weierstrass, alcanza su mayor o menor valor en algún punto \a(c\a) del intervalo \a(\a izquierda( {a,b} \a derecha),\a) es decir. Entonces, por el teorema de Fermat, la derivada en este punto es igual a cero:
Teorema de Rolle y teorema del valor medio
En cálculo, el teorema de Rolle afirma que si una función diferenciable (de valor real) alcanza valores iguales en dos puntos distintos, entonces debe tener al menos un punto fijo en algún lugar entre ellos donde la primera derivada sea cero. El teorema de Rolle debe su nombre a Michel Rolle, un matemático francés. El teorema de Rolle es un caso especial del teorema del valor medio.
El teorema del valor medio de Lagrange también se denomina teorema del valor medio propiamente dicho o primer teorema del valor medio. Comúnmente, la media se considera como el promedio de los valores dados, pero en el caso de las integrales, el método para encontrar el valor medio de dos funciones diferentes es diferente. En este artículo vamos a aprender el teorema de Rolle y el valor medio de dichas funciones junto con su interpretación geométrica.
El teorema del valor medio establece que «Si una función f está definida en el intervalo cerrado [a,b] y cumple las siguientes condiciones: i) la función f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y ii) la función f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe un valor x = c de forma que f'(c) = [f(b) – f(a)]/(b-a)».
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La gráfica de f(x) = – x2 + 6x – 6 para 1 ≤ x ≤ 5 se muestra a continuación. f(1) = f(5) = – 1 y f es continua en [1 , 5] y diferenciable en (1 , 5) por lo que, según el teorema de Rolle, existe al menos un valor de x = c tal que f ‘(c) = 0.
La gráfica de f(x) = sen(x) + 2 para 0 ≤ x ≤ 2π se muestra a continuación. f(0) = f(2π) = 2 y f es continua en [0 , 2π] y diferenciable en (0 , 2π) por tanto, según el teorema de Rolle, existe al menos un valor (¡puede haber más de uno!) de x = c tal que f ‘(c) = 0.
La función f de la figura 3 no satisface el teorema de Rolle: aunque es continua y f(-1) = f(3), la función no es diferenciable en x = 1 y, por tanto, f ‘(c) = 0 con c en el intervalo (-1 , 3) no está garantizado. De hecho es fácil ver que no hay tangente horizontal a la gráfica de f en el intervalo (-1 , 3).
f es una función polinómica y por tanto es continua en el intervalo [1 , 3] y diferenciable en el intervalo (1 , 3). También f(1) = f(3) = 0 y, por tanto, la función f satisface las tres condiciones del teorema de Rolle y existe al menos un valor de x = c tal que f ‘(c) = 0.
