Ejercicios de probabilidad condicional
Contenido
El teorema de Bayes es un teorema de la probabilidad y la estadística, llamado así por el reverendo Thomas Bayes, que ayuda a determinar la probabilidad de un suceso que se basa en algún suceso que ya ha ocurrido. El teorema de Bayes tiene muchas aplicaciones, como la interferencia bayesiana, en el sector sanitario, para determinar las probabilidades de desarrollar problemas de salud con el aumento de la edad y muchas otras. Aquí trataremos de comprender el uso del teorema de Bayes para determinar la probabilidad de los sucesos, su enunciado, su fórmula y su derivación con la ayuda de ejemplos.
El teorema de Bayes, en palabras sencillas, determina la probabilidad condicional de un suceso A dado que el suceso B ya ha ocurrido. El teorema de Bayes también se conoce como regla o ley de Bayes. Es un método para determinar la probabilidad de un suceso en función de la ocurrencia de sucesos anteriores. Se utiliza para calcular la probabilidad condicional. El teorema de Bayes calcula la probabilidad basándose en la hipótesis. Enunciemos ahora el teorema y su demostración. El teorema de Bayes afirma que la probabilidad condicional de un suceso A, dada la ocurrencia de otro suceso B, es igual al producto de la probabilidad de B, dada A y la probabilidad de A. Se da como:
Teorema de Bayes preguntas y respuestas pdf
Una de las dos cajas contiene 4 bolas rojas y 2 verdes y la segunda caja contiene 4 bolas verdes y dos rojas. Por diseño, las probabilidades de seleccionar la caja 1 o la caja 2 al azar son 1/3 para la caja 1 y 2/3 para la caja 2.
Aunque hay más bolas rojas en la caja 1 que en la 2 (el doble), las probabilidades calculadas anteriormente son iguales porque la probabilidad de seleccionar la caja 2 es mayor (el doble) que la probabilidad de seleccionar la caja 1. El teorema de Bayes tiene en cuenta toda la información.
Sea \( P(D | A) = 2\% \), \( P(D | B) = 1\% \) y \( P(D | C) = 3\%\) las probabilidades condicionales de que una bombilla sea defectuosa dado que se selecciona de la fábrica A, B y C respectivamente.
Aunque la fábrica B produce el 50% de las bombillas, la probabilidad de que la bombilla seleccionada (defectuosa) proceda de esta fábrica es baja porque las bombillas producidas por esta fábrica tienen una baja probabilidad (1%) de ser defectuosas.
Un sistema de radar está diseñado de forma que la probabilidad de detectar la presencia de un avión en su radio de acción es del 98%. Sin embargo, si no hay ningún avión en su radio de acción, sigue informando (falsamente) de la presencia de un avión con una probabilidad del 5%. En cualquier momento, la probabilidad de que un avión esté presente dentro del alcance del radar es del 7%.
Ejemplo de clasificación Bayes
⊕El experimento se publicó por primera vez en 1971. Fue realizado por Daniel Kahneman y Amos Tversky. Su trabajo sobre el razonamiento humano reconfiguró el campo de la psicología y acabó ganando un premio Nobel en 2002.
¿Cómo es posible que la probabilidad sea tan baja si el testigo es \N fiable? La respuesta corta es: porque los taxis azules son raros. Así que la mayoría de las veces, cuando el testigo dice que un taxi es azul, se trata de uno de los \(20\%\) de los taxis verdes que identifican erróneamente como azules.
Figura 8.1: El problema de los taxis. Hay un 15 % de taxis azules y un 85 % de verdes. La región punteada indica los taxis que el testigo identifica como «azules». Incluye \(80\%\) de los taxis azules (\(12\)), y sólo \(20\%\) de los verdes (\(17\)). Sin embargo, incluye más cabinas verdes que azules.
«azules», tanto acierto como error. Como el testigo es \(80\%\) exacto, esa línea abarca \(80\%\) de los taxis azules, que son \(12\) taxis. Pero también abarca el 20 por ciento de los taxis verdes, que son 17. En total, hay 29 cabinas identificadas como «azules», de las cuales sólo 12 son azules.
Prueba del teorema de Bayes
El siguiente diagrama muestra las reglas de adición de la probabilidad: Sucesos mutuamente excluyentes y sucesos no mutuamente excluyentes. Desplácese hacia abajo en la página para ver más ejemplos y soluciones sobre el uso de las reglas de adición.
Si los dos sucesos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la unión de los dos sucesos es la probabilidad del primer suceso más la probabilidad del segundo. Como los sucesos mutuamente excluyentes no se cruzan, no hay que restar nada.
El siguiente diagrama muestra las reglas de multiplicación de la probabilidad (sucesos independientes y dependientes) y el teorema de Bayes. Desplácese hacia abajo en la página para ver más ejemplos y soluciones sobre el uso de las Reglas de Multiplicación y el Teorema de Bayes.
El Teorema de Bayes fue desarrollado y nombrado por Thomas Bayes (1702 – 1761). La regla de Bayes permite al estadístico realizar nuevas y diferentes aplicaciones utilizando probabilidades condicionales. En particular, los estadísticos utilizan la regla de Bayes para «revisar» las probabilidades a la luz de nueva información.
Un determinado virus infecta a una de cada 400 personas. Una prueba utilizada para detectar el virus en una persona da un resultado positivo el 85% de las veces si la persona tiene el virus y el 5% de las veces si la persona no tiene el virus. (Este resultado del 5% se denomina falso positivo). Sea A el suceso «la persona tiene el virus» y B el suceso «la persona da positivo».
