Teorema de Chebyshev pdf
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$P(\left | \bar{X}_{n}-d \\\right |leq 0,5) \\left = P\left \{sqrt{n}\frac{left | \bar{X}_{n}-d \right |}{2} \leq \frac{\qrt{n}{4}{right \} =Phi \left ( \left | Z \right | \leq \frac{\qrt{n}{4}{right ) \\approx \Phi \left ( \frac{\qrt{n}{4}{right )- \Phi \left (- \frac{qrt{n}}{4} \right ) \\2\Phi \left ( \frac{qrt{n}}{4} \right )-1$
¿Cuál es el razonamiento detrás de esto? Este fue un ejercicio que tuve que resolver, pero utilicé el enfoque de la ecuación de Chebychev en lugar del teorema del límite central (utilizado por mi profesor) y los resultados son muy diferentes. ¿Es correcto? ¿Me he perdido algo importante?
La desigualdad de Chebyshev funciona para cualquier distribución de probabilidad (o datos empíricos suficientemente grandes) mientras que el CLT tiene supuestos más fuertes (independencia, existencia de momentos, etc.). Es una buena regla general que si quieres reducir el número de supuestos en tu modelo (o utilizar un modelo paramétrico) necesitarás más datos en comparación y viceversa.
Ejemplo del teorema de Chebyshev
Probablemente tengas una buena comprensión intuitiva de lo que la media de un conjunto de datos dice sobre ese conjunto de datos. En esta sección empezamos a aprender lo que la desviación estándar tiene que decirnos sobre la naturaleza del conjunto de datos.
Comenzamos examinando un conjunto específico de datos. La tabla \(\PageIndex{1}) muestra las alturas en pulgadas de \(100\) hombres adultos seleccionados al azar. Un histograma de frecuencias relativas para los datos se muestra en la Figura \(\PageIndex{1}). La media y la desviación estándar de los datos son, redondeadas a dos decimales, \(\bar{x}=69,92\) y \(\sigma = 1,70\).
Si recorremos los datos y contamos el número de observaciones que están dentro de una desviación estándar de la media, es decir, que están entre \(69,92-1,70=68,22\) y \(69,92+1,70=71,62\) pulgadas, hay \(69\) de ellas. Si contamos el número de observaciones que están dentro de dos desviaciones estándar de la media, es decir, que están entre \(69,92-2(1,70)=66,52\) y \(69,92+2(1,70)=73,32\) pulgadas, hay \(95\) de ellas. Todas las medidas están dentro de las tres desviaciones estándar de la media, es decir, entre \(69,92-3(1,70)=64,822\) y \(69,92+3(1,70)=75,02\) pulgadas. Estas cifras no son coincidencias, sino que están de acuerdo con el siguiente resultado que se ha comprobado que es ampliamente aplicable.
Teorema de Chebyshev para tontos
La desigualdad de Chebyshev dice que al menos 1 -1/K2 de los datos de una muestra deben caer dentro de K desviaciones estándar de la media, donde K es cualquier número real positivo mayor que uno. Esto significa que no necesitamos conocer la forma de la distribución de nuestros datos. Con sólo la media y la desviación estándar, podemos determinar la cantidad de datos a un cierto número de desviaciones estándar de la media.
Las alturas que se dan en el rango anterior están dentro de dos desviaciones estándar de la altura media de 1,5 metros. La desigualdad de Chebyshev dice que al menos 1 – 1/22 = 3/4 = 75% de la clase está en el rango de altura dado.
Se ha comprobado que los ordenadores de una determinada empresa duran una media de tres años sin ninguna avería de hardware, con una desviación típica de dos meses. ¿Qué porcentaje de ordenadores duran entre 31 y 41 meses?
La duración media de tres años corresponde a 36 meses. Los tiempos de 31 meses a 41 meses son cada uno 5/2 = 2,5 desviaciones estándar de la media. Por la desigualdad de Chebyshev, al menos 1 – 1/(2,5)62 = 84% de los ordenadores duran entre 31 meses y 41 meses.
Ejemplos resueltos de la desigualdad de Chebyshev
Problema 31Utilizando el teorema de Chebyshev, resuelve estos problemas para una distribución con una media de 80 y una desviación típica de 10.a. ¿Al menos qué porcentaje de valores caerán entre 60 y 100? b. ¿Qué porcentaje de valores, como mínimo, estará comprendido entre 65 y 95?
Solución: Paso 1 de 2: Del problema dado tenemos Media , desviación típica s = 10.a). Tenemos que encontrar al menos qué porcentaje de valores caerá entre 60 y 100. Así, y Por lo tanto, aquí 60 y 100 son ambos 2 desviaciones estándar de la media. Usando la regla de Chebyshev con k = 2, es decir Por lo tanto, el 75% está dentro de 2 desviaciones estándar de la media.
