Verificar el teorema de Green para el campo vectorial dado
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Teorema de Green círculo x^2+y^2=1
sea una función vectorial continua con primeras derivadas parciales continuas \frac {{parcial P}} {{parcial y}}, {{parcial Q}} {{parcial x}}) en un cierto dominio que contiene a R. Entonces el teorema de Green establece que
\I = \oint\limits_C {xydx + \left( {x + y} \right)dy} = \iint\limits_R {left( {\frac{{partial \left( {x + y} \right)}}{{partial x}} – {frac} {parcial} izquierda( {xy} {derecha)} {parcial} y}} \dxdy} = \iint\limits_R {\left( {1 – x} \right)dxdy} .\i]
\N – [I] = \Nlimits_R {\iq.( {1 – x} \iq.)dxdy} = \Nlimits_0^{2\pi } {\int\limits_0^1 {\left( {1 – r\cos \theta } \right)rdrd\theta } } = \int\\\\Nlimits_0^{2\pi } {\left[ {\int\limits_0^1 {\left( {r – {r^2}\cos \theta } \right)dr} } \right]d\theta } = \int\limits_0^{2\pi } } {\left[ {\left. {\left( {\frac{{r^2}} {2} – \frac{{r^3}} {3}cos \theta } \right)} \right|_{r = 0}^1} \[derecha]d\Ntheta } = \Nlimits_0^{2\pi } {\left( {\frac{1}{2} – \frac{{cos \theta }}{3} \right)d\theta } = \left. {\left( {\frac{\theta }{2} – \frac{{\sin \theta }}{3} \right)} \right|_0^{2\pi } = \pi .\N – [\N-]
Ejemplo del teorema de Green
En esta sección examinamos el teorema de Green, que es una extensión del Teorema Fundamental del Cálculo a dos dimensiones. El teorema de Green tiene dos formas: una forma de circulación y una forma de flujo, ambas requieren que la región D en la integral doble sea simplemente conectada. Sin embargo, vamos a extender el teorema de Green a regiones que no son simplemente conectadas.
En pocas palabras, el teorema de Green relaciona una integral de línea alrededor de una curva plana simplemente cerrada C y una integral doble sobre la región encerrada por C. El teorema es útil porque nos permite traducir integrales de línea difíciles en integrales dobles más simples, o integrales dobles difíciles en integrales de línea más simples.
Como enunciado geométrico, esta ecuación dice que la integral sobre la región por debajo de la gráfica de F′(x)F′(x) y por encima del segmento de recta [a,b][a,b] depende sólo del valor de F en los puntos extremos a y b de ese segmento. Como los números a y b son el límite del segmento de recta [a,b],[a,b], el teorema dice que podemos calcular la integral ∫abF′(x)dx∫abF′(x)dx basándonos en la información sobre el límite del segmento de recta [a,b][a,b] (figura 6.32). La misma idea es válida para el Teorema Fundamental de las Integrales de Línea:
Aplicar el teorema de Green para evaluar la integral
1. \3. La integral de la curva de la y es la siguiente: \(\displaystyle \int_C 2xy\,dx+(x+y)\\), donde \(C\) es el camino de \((0, 0)\) a \((1, 1)\) a lo largo de la gráfica de \(y=x^3) y de \((1, 1)\) a \((0, 0)\) a lo largo de la gráfica de \(y=x\) orientada en el sentido contrario a las agujas del reloj
4. \(\displaystyle \int_C \sin x\cos y\,dx+(xy+\cos x\sin y)\sin,dy\), donde \(C\) es el límite de la región que se encuentra entre las gráficas de \(y=x\) y \(y=sqrt{x}\) orientada en la dirección contraria a las agujas del reloj
8. Evaluar la integral de línea \(\displaystyle \int_C xe^{-2x}\,dx+(x^4+2x^2y^2)\\Ny), donde \N(C\) es la frontera de la región comprendida entre las circunferencias \(x^2+y^2=1\) y \N(x^2+y^2=4\), y es una curva orientada positivamente.
9. Halla la circulación en sentido contrario a las agujas del reloj del campo \(\vecs F(x,y)=xy\, \mathbf{hat i}+y^2\, \mathbf{hat j}\) alrededor y sobre el límite de la región encerrada por las curvas \(y=x^2\) y \ y=x\) en el primer cuadrante y orientada en sentido contrario a las agujas del reloj.
13. Calcule la integral \(\displaystyle ∮_C 2[y+x\sin(y)]\,dx+[x^2\cos(y)-3y^2]\\) a lo largo del triángulo \(C\) con vértices \((0, 0), \,(1, 0)\) y \((1, 1)\), orientado en sentido contrario a las agujas del reloj, utilizando el teorema de Green.
