Supongamos que tenemos un sistema del tipo representado en la figura 1.9.1 para el que la fuerza de amortiguación \(c\dot{x}\), en la ecuación 1.9.6, es insignificante en comparación con la fuerza de inercia \(m\ddot{x}\) y la fuerza estructural \(kx\). La figura \(\PageIndex{1}\a) es una fotografía de un sistema real1 con tan poca amortiguación que, en algunas circunstancias, podemos despreciar la fuerza de amortiguación. El carro de masa de este sistema va de un lado a otro sobre rodamientos lineales de bolas de baja fricción, que están encerrados debajo del carro y no son visibles en la fotografía. La longitud total de este sistema, desde el extremo izquierdo (fijo) del muelle, hasta el extremo derecho del carro de masa es de 21,6 cm, y cada una de las tres placas metálicas de color claro unidas al carro tiene una masa de \frac{1}{2}{1}.
Si conocemos los CI (Ecuación 1.9.5) y la fuerza de excitación \(f_x(t)\), entonces podemos resolver la Ecuación \(\ref{eqn:1.18}\) para \(x(t)\). Para futuras referencias, observe que la cantidad de masa \(m\) y la constante de rigidez del muelle \(k\) son valores intrínsecamente positivos. Además, observe que \(f_x(t)\Npuede aplicarse al sistema de la figura \(\PageIndex{1}\Na través del enlace visible en el lado derecho del carro de masa.
Elemento amortiguador de muelle
Los elementos básicos de cualquier sistema mecánico son la masa, el muelle y el amortiguador, o apagador. El estudio del movimiento en los sistemas mecánicos corresponde al análisis de los sistemas dinámicos. En robótica, por ejemplo, la palabra dinámica de avance se refiere a lo que ocurre con los actuadores cuando les aplicamos determinadas fuerzas y pares.
Además, este sistema elemental se presenta en muchos campos de aplicación, de ahí la importancia de su análisis. De nuevo, en robótica, cuando hablamos de Dinámica Inversa, hablamos de cómo hacer que el robot se mueva de una forma deseada, qué fuerzas y pares debemos aplicar sobre los actuadores para que nuestro robot se mueva de una forma determinada.
Te recomiendo el libro «Sistema masa-muelle-amortiguador, 73 ejercicios resueltos y explicados» lo he escrito después de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.
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Modelización del sistema de amortiguación de masas de muelles
El problema de la masa del resorte sería el ejemplo más común y más importante como el mismo tiempo en la ecuación diferencial. Especialmente si estudias o trabajas en ingeniería mecánica, estarás muy familiarizado con este tipo de modelo.
Los ejemplos en esta sección son casi iguales a los que aprendiste en la física de la escuela secundaria. La única diferencia es que en la física de la escuela secundaria no enseñan nada sobre la ecuación diferencial. Así que sólo te muestran la conclusión final de la modelización matemática sin utilizar términos diferenciales. Sin embargo, el modelo físico es exactamente el mismo.
Este es uno de los ejemplos más famosos de ecuación diferencial. Probablemente usted ya ha aprendido sobre el comportamiento general de este tipo de sistema de masa de resorte en la física de la escuela secundaria en relación con la Ley de Hook o el movimiento armónico. Por supuesto, es posible que no haya escuchado nada sobre la ‘Ecuación Diferencial’ en la física de la escuela secundaria. (En cuanto a la introducción general de este sistema, vea este excelente
video y obtenga una idea intuitiva sobre el sistema: Universo Mecánico 16 – Movimiento Armónico. Si este enlace no funciona, intente buscar en YouTube con la palabra clave ‘Mechanical Universe 16 – Harmonic Motion’).
Sistema de amortiguación de dos masas
Esta ecuación de movimiento es bastante sencilla y podría resolverse analíticamente mediante la resolución de la ecuación diferencial. Sin embargo, vamos a resolver esta ecuación numéricamente. Más tarde, utilizaremos la solución analítica para ver lo bien que funcionan nuestros métodos numéricos.
En lugar de utilizar la derivada del tiempo \(t\) para calcular los incrementos de \(t + \Delta t\) en comparación con el tiempo \(t\). Se calcula primero el valor de \(t + \Delta t/2\) y luego se utiliza la derivada del tiempo \(t + \Delta t/2\) para calcular los incrementos de \(t + \Delta t\) comparando con el tiempo \(t\).
