Juan recibió una herencia de $12,000 que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga 3% de interés anual; en bonos municipales que pagan 4% de interés anual; y en fondos mutuos que pagan 7% de interés anual. John invirtió 4.000 dólares más en fondos municipales que en bonos municipales. Ganó 670 dólares en intereses el primer año. ¿Cuánto invirtió Juan en cada tipo de fondo?
Entender el enfoque correcto para plantear problemas como éste hace que encontrar una solución sea cuestión de seguir un patrón. En esta sección resolveremos éste y otros problemas similares que implican tres ecuaciones y tres variables. Para ello se utilizan técnicas similares a las empleadas para resolver sistemas de dos ecuaciones en dos variables. Sin embargo, encontrar las soluciones de los sistemas de tres ecuaciones requiere un poco más de organización y un poco de gimnasia visual.
Para resolver sistemas de ecuaciones en tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, el objetivo principal es eliminar una variable cada vez para lograr la sustitución por la espalda. Una solución a un sistema de tres ecuaciones en tres variables [latex]\left(x,y,z\right),\text{}[/latex] se llama un triple ordenado.
Hoja de trabajo del sistema de ecuaciones con 3 variables
solución.Sistemas sobredeterminadosAbrir Live ScriptEste ejemplo muestra cómo los sistemas sobredeterminados se encuentran a menudo en varios tipos de ajuste de curvas a los datos experimentales.Una cantidad y se mide en varios valores diferentes de tiempo t para producir las siguientes observaciones. Puede introducir los datos y visualizarlos en una tabla con las siguientes afirmaciones.t = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]’;
Intenta modelar los datos con una función exponencial decrecientey(t)=c1+c2e-t.La ecuación anterior dice que el vector y debe ser aproximado por una combinación lineal de otros dos vectores. Uno es un vector constante que contiene todos los unos y el otro es el vector con componentes exp(-t). Los coeficientes desconocidos, c1 y c2, pueden calcularse haciendo un ajuste por mínimos cuadrados, que minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto al modelo. Hay seis ecuaciones en dos incógnitas, representadas por una matriz de 6 por 2.E = [ones(size(t)) exp(-t)]E = 6×2
plot(T,Y,’-‘,t,y,’o’)E*c no es exactamente igual a y, pero la diferencia podría ser menor que los errores de medición en los datos originales.Una matriz rectangular A es de rango deficiente si no tiene columnas linealmente independientes. Si A tiene un rango deficiente, la solución por mínimos cuadrados de AX = B no es única. A\B emite una advertencia si A tiene un rango deficiente y produce una solución de mínimos cuadrados. Puede utilizar lsqminnorm para encontrar la solución X que tiene la norma mínima entre todas las soluciones.Sistemas subdeterminadosEste ejemplo muestra cómo la solución de los sistemas subdeterminados no es única. Los sistemas lineales subdeterminados incluyen más incógnitas que ecuaciones. La operación de división matricial a la izquierda en MATLAB encuentra una solución básica de mínimos cuadrados, que tiene como máximo m componentes no nulos para una matriz de m por n coeficientes.He aquí un pequeño ejemplo aleatorio:R = [6 8 7 3; 3 5 4 1]
Hoja de trabajo de resolución de problemas de sistemas de ecuaciones con 3 variables
En esta sección, ampliaremos nuestro trabajo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales. Hasta ahora hemos trabajado con sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos variables. Ahora trabajaremos con sistemas de tres ecuaciones con tres variables. Pero primero vamos a repasar lo que ya sabemos sobre la resolución de ecuaciones y sistemas que implican hasta dos variables.
Antes aprendimos que la gráfica de una ecuación lineal, \(ax+by=c\), es una recta. Cada punto de la recta, un par ordenado \((x,y)\N, es una solución de la ecuación. Para un sistema de dos ecuaciones con dos variables, graficamos dos rectas. Entonces podemos ver que todos los puntos que son soluciones de cada ecuación forman una recta. Y, al encontrar lo que las rectas tienen en común, encontraremos la solución del sistema.
La mayoría de las ecuaciones lineales en una variable tienen una solución, pero vimos que algunas ecuaciones, llamadas contradictorias, no tienen soluciones y para otras ecuaciones, llamadas identidades, todos los números son soluciones
Para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales, queremos encontrar los valores de las variables que son soluciones de las tres ecuaciones. En otras palabras, buscamos la triple ordenada \((x,y,z)\Nque hace que las tres ecuaciones sean verdaderas. Estas son las soluciones del sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables.
Calculadora de sistemas de ecuaciones con 3 variables
En esta sección, ampliaremos nuestro trabajo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales. Hasta ahora hemos trabajado con sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos variables. Ahora trabajaremos con sistemas de tres ecuaciones con tres variables. Pero primero vamos a repasar lo que ya sabemos sobre la resolución de ecuaciones y sistemas que implican hasta dos variables.
Antes aprendimos que la gráfica de una ecuación lineal, ax+by=c,ax+by=c, es una recta. Cada punto de la recta, un par ordenado (x,y),(x,y), es una solución de la ecuación. Para un sistema de dos ecuaciones con dos variables, graficamos dos rectas. Entonces podemos ver que todos los puntos que son soluciones de cada ecuación forman una recta. Y, al encontrar lo que las rectas tienen en común, encontraremos la solución del sistema.
La mayoría de las ecuaciones lineales en una variable tienen una solución, pero vimos que algunas ecuaciones, llamadas contradictorias, no tienen soluciones y para otras ecuaciones, llamadas identidades, todos los números son soluciones
Para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales, queremos encontrar los valores de las variables que son soluciones de las tres ecuaciones. En otras palabras, buscamos la triple ordenada (x,y,z)(x,y,z) que hace que las tres ecuaciones sean verdaderas. Estas son las soluciones del sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables.
