Encuentre la integral de línea a lo largo de la trayectoria c
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Estamos familiarizados con integrales de una sola variable de la forma ∫abf(x)dx,∫abf(x)dx, donde el dominio de integración es un intervalo [a,b].[a,b]. Tal intervalo puede considerarse como una curva en el plano xy, ya que el intervalo define un segmento de línea con puntos extremos (a,0)(a,0) y (b,0)(b,0) – en otras palabras, un segmento de línea situado en el eje x. Supongamos que queremos integrar sobre cualquier curva en el plano, no sólo sobre un segmento de línea en el eje x. Esta tarea requiere un nuevo tipo de integral, llamada integral de línea.
Las integrales de línea tienen muchas aplicaciones en ingeniería y física. También nos permiten hacer varias generalizaciones útiles del Teorema Fundamental del Cálculo. Además, están estrechamente relacionadas con las propiedades de los campos vectoriales, como veremos.
Una integral de línea nos da la capacidad de integrar funciones multivariables y campos vectoriales sobre curvas arbitrarias en un plano o en el espacio. Hay dos tipos de integrales de línea: integrales de línea escalares e integrales de línea vectoriales. Las integrales de línea escalares son integrales de una función escalar sobre una curva en el plano o en el espacio. Las integrales de línea vectoriales son integrales de un campo vectorial sobre una curva en un plano o en el espacio. Veamos primero las integrales de línea escalares.
Calculadora de la integral de líneas
Integral de línea del campo vectorialUna integral de línea (también conocida como integral de trayectoria) es una integral de alguna función a lo largo de una curva. También se puede incorporar una función de valor escalar a lo largo de una curva, obteniendo por ejemplo la masa del cable a partir de su densidad. También podemos incorporar ciertos tipos de funciones de valor vectorial a lo largo de una curva. Estas funciones de valor vectorial son aquellas cuyo tamaño de entrada y salida son similares y solemos definirlas como campos vectoriales. La integral de línea del campo vectorial también se interpreta como la cantidad de trabajo que un campo de fuerza realiza sobre una partícula al moverse a lo largo de una curva.
Aplicación de la integral de líneaGuía paso a paso para resolver integrales de líneaPor ejemplo, la ecuación de una circunferencia está dada como,x2 + y2 = r2.Su forma paramétrica sería,x(t)= rcos(t) e y(t)= rsin(t), donde t: 0→2π.Sin embargo, después de determinar la ecuación paramétrica, te mueves a lo largo de la curva en la dirección opuesta a medida que ‘t’ aumenta, el valor de la integral de línea se multiplica por -1.
Diferencia entre integrales de línea e integrales definidasLa integral definida implica la suma infinita de elementos infinitesimales entre dos fronteras dadas llamadas límites. Es una integral abierta, lo que significa que los límites inicial y final no necesitan ser los mismos. Puede ser una integración sobre una línea, superficie, volumen, etc. La integral de línea, por otro lado, es una integral cerrada que tiene una dirección particular de viaje en la dirección de la función dada. La mayoría de las integrales de línea son integrales definidas, pero lo contrario no es necesariamente cierto. A continuación se exponen ejemplos de integrales de línea. Esto te ayudará a entender el concepto más claramente.
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Integrales de línea – Parte I – En esta sección comenzaremos con un rápido repaso de la parametrización de curvas. Esta es una habilidad que se requerirá en muchas de las integrales de línea que evaluamos y, por lo tanto, es necesario entenderla. A continuación, definiremos formalmente el primer tipo de integral de línea que vamos a estudiar: las integrales de línea con respecto a la longitud de arco..
Integrales de línea – Parte II – En esta sección seguiremos viendo las integrales de línea y definiremos el segundo tipo de integral de línea que veremos: integrales de línea con respecto a \(x\), \(y\), y/o \(z\). También introducimos una forma alternativa de notación para este tipo de integral de línea que será útil en ocasiones.
