Calculadora de series de Fourier
Contenido
En el resto de este capítulo, incluiremos las series que implican una variable. Por ejemplo, si en la serie geométrica de la ecuación (8.5.1) sustituimos la razón \(r = \frac{1}{2}\) por la variable \(x\text{,}\) tenemos la serie infinita (todavía geométrica)
Aquí vemos algo muy interesante: como una serie geométrica converge siempre que su razón \(r\) satisface \(|r|\lt 1\text{,}) y la suma de una serie geométrica convergente es \(\frac{a}{1-r}\text{,}) podemos decir que para \(|x|\lt 1\text{,})
La ecuación (8.5.3) dice que la función no polinómica \frac{1}{1-x}\a la derecha es igual a la expresión polinómica infinita de la izquierda. Como los términos de la izquierda se hacen muy pequeños a medida que \(k\) se hace grande, podemos truncar la serie y decir, por ejemplo, que
para valores pequeños de \(x\text{.}\} Esto muestra una forma en que una función polinómica puede ser utilizada para aproximar una función no polinómica; tales aproximaciones son uno de los temas principales en esta sección y la siguiente.
La Actividad Preliminar 8.3.1 mostró cómo podemos aproximar el número \(e) usando funciones lineales, cuadráticas y otras funciones polinómicas; luego usamos ideas similares en la Actividad Preliminar 8.4.1 para aproximar \(\ln(2)\\ {.}) En esta actividad, repasamos y ampliamos el proceso para encontrar la «mejor» aproximación cuadrática a la función exponencial \(e^x\) alrededor del origen. Dejemos que \N(f(x) = e^x\) a lo largo de esta actividad.
Calculadora de límites
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla «estrecho» (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En la sección anterior empezamos a ver la escritura de una representación en serie de potencias de una función. El problema con el enfoque de esa sección es que todo se reducía a la necesidad de poder relacionar la función de alguna manera con
Así que, sin quitarle nada al proceso que vimos en la sección anterior, lo que tenemos que hacer es idear un método más general para escribir una representación en serie de potencias de una función.
\[f\left( x \right) = \sum_limits_{n = 0}^\infty {{c_n}{{\left( {x – a} \right)}^n} = {c_0} + {c_1}{Izquierda( {x – a} \\}derecha) + {c_2}{Izquierda( {x – a} \}derecha)^2} + {c_3}{Izquierda( {x – a} \\NDerecha)^3} + {c_4} {izquierda( {x – a} \ derecha)^4} + \cdots \c]
Serie Taylor con escalones
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Calculadora de polinomios Geogebra taylor
En matemáticas, la serie de Taylor de una función es una suma infinita de términos que se expresan en términos de las derivadas de la función en un único punto. Para la mayoría de las funciones comunes, la función y la suma de su serie de Taylor son iguales cerca de este punto. Las series de Taylor deben su nombre a Brook Taylor, que las introdujo en 1715. Si el punto en el que se consideran las derivadas es 0, una serie de Taylor también se llama serie de Maclaurin, en honor a Colin Maclaurin, que utilizó ampliamente este caso especial de serie de Taylor a mediados del siglo XVIII.
La suma parcial formada por los primeros n + 1 términos de una serie de Taylor es un polinomio de grado n que se denomina nº polinomio de Taylor de la función. Los polinomios de Taylor son aproximaciones de una función, que suelen ser mejores a medida que aumenta n. El teorema de Taylor proporciona estimaciones cuantitativas sobre el error introducido por el uso de tales aproximaciones. Si la serie de Taylor de una función es convergente, su suma es el límite de la secuencia infinita de los polinomios de Taylor. Una función puede diferir de la suma de su serie de Taylor, incluso si su serie de Taylor es convergente. Una función es analítica en un punto x si es igual a la suma de sus series de Taylor en algún intervalo abierto (o disco abierto en el plano complejo) que contenga a x. Esto implica que la función es analítica en cada punto del intervalo (o disco).
