Serie de taylor ejercicios resueltos

Ejemplos de expansión de Taylor

En la sección anterior, definimos las series de Taylor y mostramos cómo encontrar las series de Taylor para varias funciones comunes calculando explícitamente los coeficientes de los polinomios de Taylor. En esta sección mostramos cómo utilizar esas series de Taylor para derivar series de Taylor para otras funciones. A continuación, presentamos dos aplicaciones comunes de las series de potencias. En primer lugar, mostramos cómo las series de potencias pueden utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales. En segundo lugar, mostramos cómo las series de potencias pueden utilizarse para evaluar integrales cuando la antiderivada del integrando no puede expresarse en términos de funciones elementales. En un ejemplo, consideramos ∫e-x2dx,

es un entero no negativo, entonces [link] para los coeficientes coincide con [link] para los coeficientes, y la fórmula para la serie binomial coincide con [link] para la expansión binomial finita. Más generalmente, para denotar los coeficientes binomiales para cualquier número real r,

Anteriormente en el capítulo, mostramos cómo se pueden combinar las series de potencias para crear nuevas series de potencias. Aquí utilizamos estas propiedades, combinadas con las series de Maclaurin en [link], para crear series de Maclaurin para otras funciones.

Ejercicios en serie y soluciones

En las dos secciones anteriores hemos discutido cómo encontrar representaciones de series de potencias para ciertos tipos de funciones, en concreto, funciones relacionadas con series geométricas. En esta sección se discuten las representaciones de series de potencias para otros tipos de funciones. En particular, abordamos las siguientes preguntas: ¿Qué funciones pueden representarse mediante series de potencias y cómo podemos encontrar dichas representaciones? Si podemos encontrar una representación en serie de potencias para una función concreta ff y la serie converge en algún intervalo, ¿cómo demostramos que la serie converge realmente a f?f?

¿Cuáles deberían ser los coeficientes? Por ahora, ignoramos las cuestiones de convergencia y nos centramos en lo que debería ser la serie, si es que existe. Volveremos a discutir la convergencia más adelante en esta sección. Si la serie Ecuación 6.4 es una representación para ff en x=a,x=a, ciertamente queremos que la serie sea igual a f(a)f(a) en x=a.x=a. Evaluando la serie en x=a,x=a, vemos que

Así, la serie es igual a f(a)f(a) si el coeficiente c0=f(a).c0=f(a). Además, queremos que la primera derivada de la serie de potencias sea igual a f′(a)f′(a) en x=a.x=a. Diferenciando la ecuación 6.4 término a término, vemos que

Serie de Taylor cos x

¡En los ejercicios 9 – 14, verifique que la elección dada de \(n\) en la estimación del resto \( |R_n|≤\dfrac{M}{(n+1)! }(x-a)^{n+1}\), donde \(M\) es el valor máximo de \( ∣f^{(n+1)}(z)∣\) en el intervalo entre \(a\) y el punto indicado, produce \( |R_n|≤\frac{1}{1000}\). Hallar el valor del polinomio de Taylor \( p_n\) de \( f\) en el punto indicado.

\( \dfrac{d^2}{dx^2}x^{1/3}=−\dfrac{2}{9x^{5/3}}≥−0. 00092…\) cuando \( x≥28\) por lo que la estimación del resto se aplica a la aproximación lineal \( x^{1/3}≈p_1(27)=3+\dfrac{x-27}{27}\), que da \( (28)^{1/3}≈3+\frac{1}{27}=3. \bar{037}\), mientras que \( (28)^{1/3}≈3,03658.\}

Utilizando la estimación \( \dfrac{2^{10}}{10!}<0,000283\}) podemos utilizar la expansión de Taylor de orden 9 para estimar \( e^x\) en \( x=2\) ya que \( e^2≈p_9(2)=1+2+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{6}+⋯+\frac{2^9}{9!}=7,3887)… mientras que \( e^2≈7,3891.\f)

¡En los ejercicios 17 – 20, halla el menor valor de \(n\) tal que el resto estimado \( |R_n|≤\dfrac{M}{(n+1)! }(x-a)^{n+1}\), donde \(M\) es el valor máximo de \( ∣f^{(n+1)}(z)∣\) en el intervalo entre \(a\) y el punto indicado, produzca \( |R_n|≤\frac{1}{1000}\) en el intervalo indicado.

Serie Laurent

En la sección 9.8, mostramos cómo ciertas funciones pueden ser representadas por una función de serie de potencias. En la sección 9.9, mostramos cómo podemos aproximar funciones con polinomios, siempre que se disponga de suficiente información de la derivada. En esta sección combinamos estos conceptos: si una función f(x) es infinitamente diferenciable, mostramos cómo representarla con una función de serie de potencias.

La diferencia entre un polinomio de Taylor y una serie de Taylor es que el primero es un polinomio, que contiene sólo un número finito de términos, mientras que el segundo es una serie, una suma de un conjunto infinito de términos. Al crear el polinomio de Taylor de grado n para una función f(x) en x=c, necesitamos evaluar f, y las primeras n derivadas de f, en x=c. Al crear la serie de Taylor de f, necesitamos encontrar un patrón que describa la enésima derivada de f en x=c. Lo demostramos en los dos siguientes ejemplos.

Recuerda que esto es lo que distingue a las series de Taylor de los polinomios de Taylor; estamos muy interesados en encontrar un patrón para el enésimo término, no sólo en encontrar un conjunto finito de coeficientes para un polinomio.