Calcular el centro del polígono
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En esta sección, consideramos los centros de masa (también llamados centroides, bajo ciertas condiciones) y los momentos. La idea básica del centro de masa es la noción de punto de equilibrio. Muchos de nosotros hemos visto a artistas que hacen girar platos en los extremos de palos. Los artistas intentan mantener varios de ellos girando sin que ninguno se caiga. Si observamos un solo plato (sin hacerlo girar), hay un punto dulce en el plato donde se equilibra perfectamente en el palo. Si ponemos el palo en cualquier otro lugar que no sea ese punto dulce, el plato no se equilibra y se cae al suelo. (Por eso los artistas hacen girar los platos; el giro ayuda a que los platos no se caigan aunque el palo no esté exactamente en el lugar correcto). Matemáticamente, ese punto dulce se llama centro de masa del plato.
En esta sección, examinamos primero estos conceptos en un contexto unidimensional, y luego ampliamos nuestro desarrollo para considerar los centros de masa de las regiones bidimensionales y la simetría. Por último, utilizamos los centroides para encontrar el volumen de ciertos sólidos aplicando el teorema de Pappus.
Centro de gravedad
El centro de masa es el punto en el que se puede considerar que se concentra toda la masa del cuerpo o sistema. En otras palabras, si aplicas una fuerza a ese punto, sólo provocará una aceleración lineal y no una angular. No olvides que si el objeto tiene una densidad uniforme, el centro de masa se encuentra en el centroide del objeto. Este hecho puede facilitarte los cálculos.
Si tienes dos objetos con la misma masa, el centro de masa estará exactamente a la mitad de la distancia entre ellos. Pero, ¿qué ocurre si tienes un objeto más masivo en un extremo? ¿Dónde está el punto de giro? Intuitivamente, sabemos que el centro de masa estará más cerca de un objeto más pesado. Dónde está exactamente, puedes averiguarlo utilizando la ecuación del centro de masa.
Esa es la fórmula general, pero también puedes extender esa ecuación del centro de la masa a 1,2 o 3 dimensiones en el sistema de coordenadas cartesianas. Por ejemplo, si tienes N partículas (hasta 10 en nuestra calculadora) en 3D, puedes calcular el centro de masa usando
Integral del centro de masa
Pensé que debía ser un problema trivial, pero no encuentro una solución en internet. scipy.ndimage.measurements.center_of_mass parece ser lo correcto, pero desafortunadamente, la función siempre devuelve dos valores (en lugar de 3). Además, no encuentro ninguna documentación sobre cómo configurar una ndimage a partir de un array: ¿Utilizaría un array N de numpy de forma (9,4)? ¿Sería entonces N[:,0] la coordenada x?
Ten en cuenta que la limitación de esta solución (y de la biblioteca ndimage) es que requiere coordenadas enteras no negativas. Tampoco será eficiente para volúmenes grandes y/o dispersos porque cada «píxel» de la ndimage necesita ser instanciado en memoria.
Calcular el centro de gravedad
Ya hemos hablado de algunas aplicaciones de las integrales múltiples, como la búsqueda de áreas, volúmenes y el valor medio de una función en una región delimitada. En esta sección desarrollamos técnicas computacionales para encontrar el centro de masa y los momentos de inercia de varios tipos de objetos físicos, utilizando integrales dobles para una lámina (placa plana) e integrales triples para un objeto tridimensional con densidad variable. La densidad suele considerarse un número constante cuando la lámina o el objeto es homogéneo; es decir, el objeto tiene una densidad uniforme.
El centro de masa también se conoce como centro de gravedad si el objeto está en un campo gravitatorio uniforme. Si el objeto tiene una densidad uniforme, el centro de masa es el centro geométrico del objeto, que se denomina centroide. (La figura muestra un punto como centro de masa de una lámina. La lámina está perfectamente equilibrada alrededor de su centro de masa.
Consulte en Momentos y centros de masa las definiciones y los métodos de integración simple para encontrar el centro de masa de un objeto unidimensional (por ejemplo, una varilla fina). Vamos a utilizar una idea similar aquí, excepto que el objeto es una lámina bidimensional y utilizamos una integral doble.
