Fórmula de crecimiento exponencial
Contenido
¿Qué es la regresión exponencial? Sigue leyendo porque no sólo te proporcionamos la fórmula de la regresión exponencial, sino que también te explicamos cómo calcular la regresión exponencial y te explicamos en qué situaciones resulta útil el ajuste exponencial. Como extra, te mostramos cómo derivar la ecuación de la regresión exponencial para que no tengas que aprenderla de memoria.
El objetivo de la regresión exponencial es encontrar una curva exponencial que se ajuste lo mejor posible a un conjunto dado de puntos de datos. Esto es muy similar a la regresión lineal, en la que buscamos la línea (recta) de mejor ajuste, a la regresión cuadrática, en la que buscamos la parábola que mejor se ajuste, o a la regresión cúbica, en la que buscamos la curva cúbica (es decir, de grado tres) que mejor se ajuste.
Hay muchas situaciones en las que los datos no siguen ni una línea recta ni una parábola, sino que una curva exponencial parece ser la adecuada; se trata de procesos que crecen lentamente al principio y luego se aceleran rápidamente, o cuya decadencia comienza rápidamente y luego se ralentiza con el paso del tiempo. Algunos ejemplos son el crecimiento de las inversiones, las temperaturas de los objetos que se enfrían y la desintegración radiactiva.
Solucionador matemático
Las ecuaciones exponenciales aparecen en muchos tipos de problemas de modelización matemática, como el interés compuesto, el crecimiento de los cultivos celulares y la desintegración radiactiva. Pueden surgir situaciones en las que se necesite encontrar la intersección de dos ecuaciones exponenciales, es decir, resolver ecuaciones de la forma
Ejemplo 1: Marty invierte 5.000 dólares en una cuenta que crece un 3,3% al año y Fawn invierte 7.600 dólares en una cuenta que crece un 2,1% al año. Ni Marty ni Fawn hacen depósitos o retiros de sus cuentas. ¿Después de cuántos años tendrá Marty más dinero en la cuenta que Fawn?
La función que modela la cuenta de Marty es 5000(1.033)x y la función que modela la cuenta de Fawn es 7600(1.021)x, donde x es el número de años. Para saber cuándo las dos cuentas son iguales, resolvemos la ecuación 5000(1.033)x = 7600(1.021)x. Utilizando el método anterior, obtenemos x = Ln(7600/5000)/Ln(1,033/1,02), o bien x = 85,83 años, es decir, unos 35 años y 10 meses. Después de este punto, la cuenta de Marty siempre tendrá más dinero que la de Fawn.
Calculadora de ecuaciones exponenciales con pasos
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Mathway
No debes reducir las expresiones a valores decimales hasta el final de tus cálculos, y sólo si la aproximación decimal es necesaria. Por ejemplo, en el último ejercicio de la página anterior, no debes evaluar «ln( 350/3 )» hasta el final del ejercicio. Deberías hacer todo el trabajo posible de forma simbólica y «exacta»; esto evitará en gran medida el error de redondeo, que (¡advertencia!) puede ser muy grande cuando se trata de logaritmos.
Además de tardar demasiado, es muy probable que el error de redondeo sea demasiado grande para que tu respuesta se considere «correcta». En su lugar, acostúmbrate a hacer todos los pasos que puedas de una sola vez dentro de la memoria de la calculadora.
Coge tu calculadora y asegúrate de que puedes llegar a la aproximación decimal anterior. Comprueba también tu calculadora para el resto de los ejemplos. No querrás esperar hasta el próximo examen para aprender a hacer las entradas correctamente.
Como la base en este caso es 1000, que es una potencia de 10, utilizaré el logaritmo común para resolver. El logaritmo natural habría dado la misma respuesta (eventualmente, después de alguna manipulación), pero el logaritmo de base 10 será más sencillo en este caso:
