Ejemplos de surdos conjugados
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El término conjugado significa un par de cosas unidas. Por ejemplo, los dos smileys: smiley y sad son exactamente iguales excepto por un par de rasgos que en realidad son opuestos entre sí. Si miras estos smileys, te darás cuenta de que son iguales excepto porque tienen expresiones faciales opuestas: uno tiene una sonrisa y el otro tiene el ceño fruncido. Del mismo modo, el conjugado en matemáticas se refiere al conjugado de un surd o al conjugado de un número complejo en el que sólo hay un cambio de signo en el número con respecto a algunas condiciones.
El conjugado en matemáticas se forma cambiando el signo entre dos términos de un binomio con respecto a la condición de que la suma y el producto del binomio y su conjugado sean racionales. En este caso, el binomio puede ser un número surd o un número complejo. Observa los siguientes binomios y sus conjugados.
El conjugado de un surd x + y√z es siempre x – y√z y viceversa. Esto es así porque la suma es (x + y√z) + (x – y√z) = 2x, y el producto = (x + y√z) (x – y√z) = x2 – (y√z)2 = x2 – y2z (por la fórmula de a2 – b2) son números racionales. Por ejemplo, para el surd 3 + √2, el surd conjugado es 3 – √2, esto es porque:
Conjugado de surds binomiales
Sin embargo, sigo sin entender por qué está justificado utilizar el término «conjugado» cuando simplemente cambiamos el signo en un binomio. ¿Es realmente necesario dar nombres a todo? ¿Es suficiente una similitud formal para utilizar la misma expresión como nombre? En los dos ejemplos anteriores la similitud es más que formal. Los dos tipos de conjugación tienen propiedades similares (ya que ambos son casos especiales de una teoría general). Sin embargo, no veo cómo cambiar el signo en un binomio sin ninguna restricción en los términos del binomio encaja en esta teoría general.
Sin embargo, existe el peligro de utilizar algo sin entenderlo. Si intentamos extender ingenuamente esta idea de la conjugación a otros números como $1+\sqrt[3]{7} \mapsto 1-\sqrt[3]{7}$ entonces encontraremos que el esquema de racionalización anterior se cae:
Calcular lo mismo usando conjugados de Galois es más difícil ya que el campo de división de $x^3-17$ tiene más de una conjugación y esencialmente hay que multiplicar por el producto de todos los conjugados de Galois para producir un entero.
Calculadora de binomios conjugados
Cuadrar un binomio usando el patrón de los cuadrados del binomioA los matemáticos les gusta buscar patrones que les faciliten el trabajo. Un buen ejemplo de ello es elevar al cuadrado los binomios. Aunque siempre puedes obtener el producto escribiendo el binomio dos veces y usando los métodos de la última sección, hay menos trabajo que hacer si aprendes a usar un patrón.
Multiplicar Conjugados Usando el Patrón del Producto de ConjugadosAcabamos de ver un patrón para elevar al cuadrado binomios que podemos usar para hacer más fácil la multiplicación de algunos binomios. Del mismo modo, existe un patrón para otro producto de binomios. Pero antes de llegar a él, tenemos que introducir algo de vocabulario.
Un par de binomios que tienen cada uno el mismo primer término y el mismo último término, pero uno es una suma y otro una diferencia, tiene un nombre especial. Se llama par conjugado y es de la forma (a-b),(a+b)(a-b),(a+b).
Acabamos de desarrollar patrones de productos especiales para los cuadrados binomiales y para el producto de conjugados. Los productos se parecen, así que es importante reconocer cuándo es apropiado utilizar cada uno de estos patrones y notar en qué se diferencian. Mira los dos patrones juntos y observa sus similitudes y diferencias.
Conjugado matemático deutsch
Al aplicar el teorema de Pitágoras, surgen naturalmente números irracionales como . Al resolver una ecuación cuadrática, utilizando el método de completar el cuadrado o la fórmula cuadrática, obtenemos respuestas como , . Estos números implican surds. Como estos números son irracionales, no podemos expresarlos en forma exacta utilizando decimales o fracciones. En algunos problemas podemos querer aproximarlos utilizando decimales, pero en la mayoría de los casos preferimos dejarlos en forma exacta. Por tanto, debemos ser capaces de manipular este tipo de números y simplificar las combinaciones que surjan en el curso de la resolución de un problema. Hay varias razones para hacerlo:
El número 9 tiene dos raíces cuadradas, 3 y -3. Sin embargo, cuando escribimos siempre nos referimos a la raíz cuadrada positiva, 3 y no a la raíz cuadrada negativa -3, que puede escribirse como -. Todo número positivo tiene exactamente dos raíces cuadradas. La expresión sólo está definida cuando x es positivo o cero. Para las raíces cúbicas, el problema no se plantea, ya que cada número tiene exactamente una raíz cúbica. Por lo tanto, = 3 y = -2. En el módulo Índices y logaritmos se tratan más detalles sobre la extracción de raíces.
