Se presenta la definición de las probabilidades condicionales junto con ejemplos y sus soluciones y explicaciones detalladas. Al final de la página se incluyen más preguntas seguidas de sus soluciones.
Dado que sabemos que el número rodado está en el conjunto B (número impar), se puede omitir la parte de \ A que no está en la intersección y nos queda un espacio muestral restringido B (ver diagrama abajo).
NOTA Siempre que sea posible, en los ejemplos siguientes utilizamos la definición como fórmula y también el espacio muestral restringido para resolver las preguntas de probabilidad condicional. Esto ayuda a una comprensión más profunda del concepto de probabilidades condicionales.
En un grupo de niños, si se selecciona uno al azar la probabilidad de que le gusten las naranjas es de 0,6, la probabilidad de que le gusten las naranjas Y las manzanas es de 0,3. Si se selecciona al azar un niño al que le gustan las naranjas, ¿cuál es la probabilidad de que también le gusten las manzanas?
La probabilidad de que una persona seleccionada al azar de este grupo tenga un seguro de coche es de 0,7. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga un seguro de hogar sabiendo que tiene un seguro de coche?
Ejercicios de probabilidad condicional
El concepto de fórmula de probabilidad condicional está relacionado principalmente con el teorema de Bayes, que es una de las teorías más influyentes de la estadística. La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un suceso con alguna relación con otro u otros sucesos. Por ejemplo:
Una probabilidad condicional considera estos dos sucesos en relación con el otro, la probabilidad de que llueva y de que salga a la calle. Entendamos la fórmula de la probabilidad condicional con ejemplos resueltos. Ten en cuenta que la probabilidad condicional no afirma que siempre haya una relación causal entre los dos sucesos, tampoco indica que ambos sucesos ocurran simultáneamente.
El concepto de la fórmula de probabilidad condicional es uno de los conceptos por excelencia de la teoría de la probabilidad. La fórmula de probabilidad condicional da la medida de la probabilidad de un suceso, digamos B, dado que ha ocurrido otro suceso, digamos A.
El teorema de Bayes se utiliza para determinar la probabilidad condicional del suceso A, dado que el suceso B ha ocurrido, conociendo la probabilidad condicional del suceso B, dado que el suceso A ha ocurrido, también las probabilidades individuales de los sucesos A y B.
Independencia condicional
Problema 1 :Se da un problema de matemáticas a tres estudiantes cuyas probabilidades de resolverlo son 1/3, 1/4 y 1/5 (i) ¿Cuál es la probabilidad de que el problema se resuelva? (ii) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de ellos lo resuelva? Solución :Sean «A», «B» y «C» los sucesos de resolución de problemas por parte de cada uno de los estudiantes respectivamente.P(A) = 1/3, P(B) = 1/4 y P(C) = 1/5(i) ¿Cuál es la probabilidad de que se resuelva el problema? P(Problema resuelto) = P(Al menos uno resuelve) = 1 – P(Ninguno resuelve el problema)= 1 – P(A’ n B’ n C’)= 1 – P(A’) ⋅ P(B’) ⋅ P(C’)
= 1 – (2/3) (3/4) (4/5) = 1 – (2/5) = (5 – 2) / 5P(Problema resuelto) = 3/5(ii) ¿Cuál es la probabilidad de que lo resuelva exactamente uno de ellosP(lo resolverá exactamente uno de ellos) = P(A’ n B’ n c) + P(A’ n B n c’) + P(A n B’ n c’) = P(A’) P(B’) P(C) + P(A’) P(B) P(C’) + P(A) P(B’) P(C’) = (2/3)(3/4)(1/5) + (2/3)(1/4)(4/5) + (1/3)(3/4)(4/5) = (6/60) + (8/60) + (12/60) = (6 + 8 + 12)/60 = 26/60P(exactamente uno de ellos lo resolverá) = 13/30Problema 2 : La probabilidad de que un coche que se llena de gasolina necesite también un cambio de aceite es de 0 30; la probabilidad de que necesite un nuevo filtro de aceite es 0,40; y la probabilidad de que haya que cambiar tanto el aceite como el filtro es 0,15. (i) Si hubiera que cambiar el aceite, ¿cuál es la probabilidad de que se necesite un nuevo filtro de aceite? (ii) Si se necesita un nuevo filtro de aceite, ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiar el aceite? Solución :Sea «A» y «B» el suceso de cambiar el aceite y el nuevo filtro de aceite respectivamente.P(A) = 0,30, P(B) = 0,40, P(AnB) = 0,15(i) Si hubiera que cambiar el aceite, ¿cuál es la probabilidad de que se necesite un nuevo filtro de aceite? Aquí tenemos que encontrar la probabilidad de que se necesite un nuevo filtro de aceite, si se ha tenido que cambiar el aceite.El suceso B depende de A.P(B/A) = P(AnB)/P(A) = 0,15 / 0,30 = 1/2P(B/A) = 0. 5(ii) Si se necesita un nuevo filtro de aceite, ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiar el aceite? El suceso A depende de B.P(A/B) = P(AnB)/P(B) = 0,15 / 0,40 = 3/8P(A/B) = 0,375
Ejemplos de probabilidad condicional lanzamiento de moneda
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