Ejercicios lagrangianos
Contenido
En la última sección tuvimos que resolver una serie de problemas de la forma «¿Cuál es el valor máximo de la función \(f\) en la curva \(C\text{{)» En esos ejemplos, la curva \(C\) era lo suficientemente sencilla como para que pudiéramos reducir el problema a encontrar el máximo de una función de una variable. Para problemas más complicados esta reducción podría no ser posible. En esta sección, introducimos otro método para resolver tales problemas. En primer lugar, se hace un poco de nomenclatura.
es un tipo de problema de optimización con restricciones. La función que se maximiza o minimiza, \(f(x,y)\text{,}\) se llama la función objetivo. La función, \(g(x,y)\text{,}\} cuyo conjunto cero es la curva de interés, se llama función de restricción.Tales problemas son bastante comunes. Como decíamos más arriba, ya nos hemos encontrado con ellos en el último apartado sobre máximos y mínimos absolutos, cuando buscábamos los valores extremos de una función en la frontera de una región. En economía, las «funciones de utilidad» se utilizan para modelar la «utilidad», la «conveniencia» o la «preferencia» relativas de diversas opciones económicas. Por ejemplo, una función de utilidad \ (U(w,\ka)\) podría especificar el nivel relativo de satisfacción que obtendría un consumidor al comprar una cantidad \ (w\) de vino y \ (\ka\) de café. Si el consumidor quiere gastar 100 dólares y el vino cuesta 20 dólares por unidad y el café 5 dólares por unidad, entonces el consumidor querría maximizar \(U(w,\ka)\Nsujeto a la restricción de que \(20w+5\ka=100\\N)
Microeconomía con multiplicador de Lagrange
La resolución de problemas de optimización para funciones de dos o más variables puede ser similar a la resolución de dichos problemas en el cálculo de una sola variable. Sin embargo, las técnicas para tratar con múltiples variables nos permiten resolver problemas de optimización más variados para los que necesitamos tratar con condiciones o restricciones adicionales. En esta sección, examinamos uno de los métodos más comunes y útiles para resolver problemas de optimización con restricciones.
(El ejemplo de la Figura 1 era una situación aplicada que implicaba la maximización de una función de beneficio, sujeta a ciertas restricciones. En ese ejemplo, las restricciones consistían en un número máximo de pelotas de golf que podían producirse y venderse en un mes y un número máximo de horas de publicidad que podían comprarse al mes Supongamos que se combinan en una restricción presupuestaria, como la que tiene en cuenta el coste de producción de las pelotas de golf y el número de horas de publicidad compradas al mes. El objetivo sigue siendo maximizar el beneficio, pero ahora hay un tipo diferente de restricción sobre los valores de y Esta restricción, cuando se combina con la función de beneficio, es un ejemplo de problema de optimización, y la función se llama función objetivo. A continuación se presenta un gráfico de varias curvas de nivel de la función.
Interpretación del multiplicador de Lagrange
¶Muchos problemas máximos y mínimos aplicados tienen la siguiente forma: queremos encontrar un valor extremo de una función, como \(V=xyz\text{,}\) sujeta a una restricción, como \(\ds1=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\text{,}) A menudo esto puede hacerse, como hemos hecho, combinando explícitamente las ecuaciones y encontrando luego los puntos críticos. Hay otro enfoque que a menudo es conveniente, el método de los multiplicadores de Lagrange.
Es algo más fácil entender los problemas de dos variables, así que empezaremos con uno como ejemplo. Supongamos que el perímetro de un rectángulo debe ser de 100 unidades. Encuentre el rectángulo de mayor área. Este es un problema bastante sencillo de cálculo de una sola variable. Escribimos las dos ecuaciones: \(A=xy\text{,}\} \(P=100=2x+2y\text{,}\} resolvemos la segunda de ellas para \(y\) (o \(x\)), la sustituimos en la primera, y terminamos con un problema de maximización de una variable. Pensemos ahora de otra manera: la ecuación \(A=xy\) define una superficie, y la ecuación \(100=2x+2y\) define una curva (una línea, en este caso) en el plano \(x\)-(y\)-. Si graficamos ambas en el sistema de coordenadas tridimensional, podemos plantear el problema así: ¿cuál es el punto más alto de la superficie sobre la recta? La solución que ya entendemos produce efectivamente la ecuación de la sección transversal de la superficie por encima de la línea y luego la trata como un problema de una sola variable. En su lugar, imaginemos que dibujamos las curvas de nivel (las curvas de nivel) de la superficie en el plano \(x\)-\ y\N, junto con la recta.
Ejercicios de optimización con restricciones
En el apartado anterior, nos hemos ocupado de encontrar los máximos y mínimos de las funciones sin ninguna restricción sobre las variables (aparte de estar en el dominio de la función). Terminamos discutiendo lo que haríamos si hubiera restricciones en las variables. El siguiente ejemplo ilustra un caso sencillo de este tipo de problemas.
SoluciónEl área A de un rectángulo de anchura x y altura y es A=xy. El perímetro P del rectángulo viene dado entonces por la fórmula P=2x+2y. Como se nos da que el perímetro P=20, este problema se puede plantear como:
El lector probablemente conozca un método sencillo, con cálculo de una sola variable, para resolver este problema. Como debemos tener 2x+2y=20, entonces podemos resolver para, digamos, y en términos de x usando esa ecuación. Esto da y=10-x, que luego sustituimos en f para obtener f(x,y)=xy=x(10-x)=10x-x2. Esto es ahora una función sólo de x, así que ahora sólo tenemos que maximizar la función f(x)=10x-x2 en el intervalo [0,10]. Como f′(x)=10-2x=0⇒x=5 y f′′(5)=-2<0, entonces la prueba de la segunda derivada nos dice que x=5 es un máximo local de f, y por tanto x=5 debe ser el máximo global en el intervalo [0,10] (ya que f=0 en los puntos extremos del intervalo). Por tanto, como y=10-x=5, el área máxima se da en un rectángulo cuya anchura y altura son 5 m.
