Ejemplos de integración por sustitución
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El método de sustitución (también llamado sustitución \(u-\)) se utiliza cuando una integral contiene alguna función y su derivada. En este caso, podemos establecer \(u\) igual a la función y reescribir la integral en términos de la nueva variable \(u.\) Esto hace que la integral sea más fácil de resolver.
\N-int {\frac{{dx}}{{sqrt {{a^2}} – {x^2}} {}} = \int {\frac{{adu}} {{cuadrado de {a^2} – {{izquierda( {au} \ derecha)}^2} { {frac{adu}} {{sqrt {a^2}} – {{a izquierda( {a^2}} {a derecha)}} = {{int}} {{frac{adu}} {{a^2}} {} = \int {\frac{{cancelación{a}du}{{cancelación{a}{cuadrado} {1 – {u^2}} {\i} = \iint {\frac{{du}} {\i} {cuadrado} {1 – {u^2}} {}} = \arcsin u + C = \arcsin \frac{x}{a} + C.\a]
\N – [\N-int {\frac{x + 1}} {{x^2} + 2x – 5}dx} = \frac{1}{2} {u} = \frac{1}{2} {frac{1}{2} {frac}{du}{u} = \frac{1}{2} {ln \left| u \right| + C = \frac{1}{2} {ln \left| {{x^2} + 2x – 5} \N – Derecho + C.]
Hoja de trabajo de la integral indefinida con soluciones pdf
El Teorema Fundamental del Cálculo nos dio un método para evaluar integrales sin usar sumas de Riemann. El inconveniente de este método, sin embargo, es que debemos ser capaces de encontrar una antiderivada, y esto no siempre es fácil. En esta sección examinamos una técnica, llamada integración por sustitución, que nos ayuda a encontrar antiderivadas. En concreto, este método nos ayuda a encontrar antiderivadas cuando el integrando es el resultado de una derivada en cadena.
Al principio, el planteamiento del procedimiento de sustitución puede no parecer muy obvio. Sin embargo, es principalmente una tarea visual, es decir, el integrando nos muestra lo que tenemos que hacer; es cuestión de reconocer la forma de la función. Entonces, ¿qué debemos ver? Buscamos un integrando de la forma Por ejemplo, en la integral tenemos y Entonces,
El método se llama sustitución porque sustituimos parte del integrando por la variable y parte del integrando por du. También se denomina cambio de variables porque estamos cambiando las variables para obtener una expresión que sea más fácil de trabajar para aplicar las reglas de integración.
6.7 integración por sustitución respuestas a los deberes
La sustitución también puede utilizarse con integrales definidas. Sin embargo, usar la sustitución para evaluar una integral definida requiere un cambio en los límites de integración. Si cambiamos las variables en el integrando, los límites de integración también cambian.
Aunque no demostraremos formalmente este teorema, lo justificamos con algunos cálculos aquí. A partir de la regla de sustitución para integrales indefinidas, si \(F(x)\Nes una antiderivada de \(f(x),\Ntenemos
La sustitución puede ser sólo una de las técnicas necesarias para evaluar una integral definida. Todas las propiedades y reglas de integración se aplican de forma independiente, y puede ser necesario reescribir las funciones trigonométricas utilizando una identidad trigonométrica antes de poder aplicar la sustitución. Además, tenemos la opción de sustituir la expresión original para u después de encontrar la antiderivada, lo que significa que no tenemos que cambiar los límites de integración. Estos dos enfoques se muestran en el ejemplo.
Podemos evaluar la primera integral tal cual, pero necesitamos hacer una sustitución para evaluar la segunda integral. Sea \(u=2θ.\N- Entonces, \(du=2\,dθ,\N-) o \(\dfrac{1}{2}\N- du=dθ\N-). Además, cuando \(θ=0,u=0,\) y cuando \(θ=π/2,u=π.\) Expresando la segunda integral en términos de \(u\), tenemos
Respuestas a la hoja de trabajo de sustitución de U
Este artículo trata del concepto de integrales definidas en cálculo. Para la integral indefinida, véase antiderivada. Para el conjunto de números, véase entero. Para otros usos, véase Integral (desambiguación).
«Área bajo la curva» redirige aquí. Para la integral farmacológica, véase Área bajo la curva (farmacocinética). Para el concepto estadístico, véase Característica operativa del receptor § Área bajo la curva.
En matemáticas, una integral asigna números a las funciones de forma que describe el desplazamiento, el área, el volumen y otros conceptos que surgen al combinar datos infinitesimales. El proceso de encontrar integrales se llama integración. Junto con la diferenciación, la integración es una operación fundamental y esencial del cálculo,[a] y sirve como herramienta para resolver problemas en matemáticas y física que implican el área de una forma arbitraria, la longitud de una curva y el volumen de un sólido, entre otros.
Las integrales enumeradas aquí son las denominadas integrales definidas, que pueden interpretarse como el área con signo de la región del plano limitada por la gráfica de una función dada entre dos puntos de la recta real. Convencionalmente, las áreas por encima del eje horizontal del plano son positivas, mientras que las áreas por debajo son negativas. Las integrales también hacen referencia al concepto de antiderivada, una función cuya derivada es la función dada. En este caso, se denominan integrales indefinidas. El teorema fundamental del cálculo relaciona las integrales definidas con la diferenciación y proporciona un método para calcular la integral definida de una función cuando se conoce su antiderivada.
