Problemas y soluciones de funciones de varias variables
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Nuestro primer paso es explicar qué es una función de más de una variable, empezando por las funciones de dos variables independientes. Este paso incluye identificar el dominio y el rango de dichas funciones y aprender a representarlas gráficamente. También examinamos las formas de relacionar las gráficas de las funciones en tres dimensiones con las gráficas de las funciones planas más conocidas.
La definición de una función de dos variables es muy similar a la definición de una función de una variable. La principal diferencia es que, en lugar de asignar valores de una variable a valores de otra variable, asignamos pares ordenados de variables a otra variable.
Una función de dos variables mapea cada par ordenado en un subconjunto del plano real a un único número real El conjunto se llama el dominio de la función. El dominio de es el conjunto de todos los números reales que tienen al menos un par ordenado tal como se muestra en la siguiente figura.
Supongamos que deseamos graficar la función Esta función tiene dos variables independientes y una variable dependiente Al graficar una función de una variable, utilizamos el plano cartesiano. Podemos graficar cualquier par ordenado en el plano, y cada punto del plano tiene un par ordenado asociado. Con una función de dos variables, cada par ordenado en el dominio de la función se asigna a un número real Por lo tanto, la gráfica de la función consiste en triples ordenados La gráfica de una función de dos variables se llama superficie.
Dominio y rango de funciones de varias variables pdf
Recordemos que una función \N(f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}}) asigna un único valor real \N(x\) a un único valor real \N(ytext{. Una función de este tipo se denomina función de una sola variable y puede ser fácilmente visualizada en un sistema de coordenadas bidimensional: por encima (o por debajo) de cada punto \(x\) en el eje \(x\) graficamos el punto \(y) donde por supuesto \(y=f(x)\text{.}\} A estas alturas, ya has visto las gráficas de muchas de estas funciones. Ahora extendemos este proceso de visualización a las funciones multivariables, también llamadas funciones de varias variables.
En el cálculo de una sola variable nos ocupamos de las funciones que mapean los números reales \(\mathbb{R}\) a \(\mathbb{R}\text{,}\) a veces llamadas «funciones reales de una variable», lo que significa que la «entrada» es un solo número real y la «salida» es igualmente un solo número real. Ahora pasamos a las funciones de varias variables, en las que varias variables de entrada se asignan a un valor: funciones \(f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}text{,}) Trataremos principalmente con \(n=2\) y en menor medida \(n=3text{,}) de hecho muchas de las técnicas que discutimos pueden aplicarse también a valores mayores de \(n\).
Funciones de varias variables mcq pdf
3) El volumen de un cilindro circular recto se calcula mediante una función de dos variables, \(\displaystyle V(x,y)=πx^2y,\) donde \(\displaystyle x\) es el radio del cilindro circular recto y \(\displaystyle y\) representa la altura del cilindro. Evalúa \(\displaystyle V(2,5)\Ny explica lo que significa.
4) Un tanque de oxígeno está construido con un cilindro recto de altura \(\displaystyle y\) y radio \(\displaystyle x\) con dos semiesferas de radio \(\displaystyle x\) montadas en la parte superior e inferior del cilindro. Expresa el volumen del cilindro en función de dos variables, \(\displaystyle x\) y \(\displaystyle y\), halla \(\displaystyle V(10,2)\Ny explica qué significa.
56) La fuerza \ (\displaystyle E\) de un campo eléctrico en el punto \ (\displaystyle (x,y,z)\) que resulta de un alambre cargado infinitamente largo que se encuentra a lo largo de la \ (\displaystyle y-eje) está dada por \ (\displaystyle E(x,y,z)=k/\sqrt{x^2+y^2}\), donde \ (\displaystyle k\) es una constante positiva. Para simplificar, dejemos que \(\displaystyle k=1\) y encontremos las ecuaciones de las superficies de nivel para \(\displaystyle E=10\) y \(\displaystyle E=100.\)
Ejemplos de función de varias variables
Continuamos con el patrón que hemos establecido en este texto: después de definir un nuevo tipo de función, le aplicamos ideas de cálculo. En la sección anterior se definieron funciones de dos y tres variables; en esta sección se investiga qué significa que estas funciones sean «continuas».
Comenzamos con una serie de definiciones. Estamos acostumbrados a «intervalos abiertos» como (1,3), que representa el conjunto de todas las x tales que 1<x<3, e «intervalos cerrados» como [1,3], que representa el conjunto de todas las x tales que 1≤x≤3. Necesitamos definiciones análogas para los conjuntos abiertos y cerrados en el plano x-y.
Recordemos una pseudo-definición del límite de una función de una variable: «limx→cf(x)=L» significa que si x está «muy cerca» de c, entonces f(x) está «muy cerca» de L. Una pseudodefinición similar vale para funciones de dos variables. Diremos que
El concepto que subyace a la definición 13.2.2 se esboza en la figura 13.2.3. Dado ϵ>0, encuentre δ>0 tal que si (x,y) es cualquier punto del disco abierto centrado en (x0,y0) en el plano x-y con radio δ, entonces f(x,y) debe estar dentro de ϵ de L.
