Fracciones parciales lineales
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Las fracciones parciales se utilizan para descomponer una expresión racional compleja en dos o más fracciones más simples. Generalmente, las fracciones con expresiones algebraicas son difíciles de resolver y, por tanto, utilizamos los conceptos de fracciones parciales para dividir las fracciones en numerosas subfracciones. En la descomposición, generalmente, el denominador es una expresión algebraica, y esta expresión se factoriza para facilitar el proceso de generación de fracciones parciales. Una fracción parcial es un proceso inverso al de la suma de expresiones racionales.
En el proceso normal, realizamos operaciones aritméticas a través de fracciones algebraicas para obtener una única expresión racional. Esta expresión racional, al dividirse en el sentido inverso implica el proceso de descomposición de fracciones parciales y da como resultado las dos fracciones parciales. Vamos a aprender más sobre las fracciones parciales en las siguientes secciones.
Cuando una expresión racional se divide en la suma de dos o más expresiones racionales, las expresiones racionales que forman parte de la suma se llaman fracciones parciales. Esto se denomina dividir la fracción algebraica dada en fracciones parciales. El denominador de la expresión algebraica dada tiene que ser factorizado para obtener el conjunto de fracciones parciales.
Fracciones parciales de Laplace
Álgebra: Fracciones parciales1. \(\frac{8x+22}{{x}^{2}+4x-5}\) Solution2. \(\frac{2x-3}{{x}^{3}+x}\) Solution3. \(\frac{8x+22}{(x+1)(2+x)(x+3)}\) Solución4. \(\frac{{x}^{2}+x+2}{{({x}^{2}+2)}^{2}}\) Solución5. \(\frac{u}{{(1+u)}^{2}}\) Solución6. \(\frac{x}{(2x+1)(2x+3)}\) Solución7. \(\frac{1}{(2x+1)(2x+3)}\) SoluciónFracción parcial – Introducción
Probablemente hayas aprendido a combinar o simplificar fracciones que contienen polinomios. Se trata de fracciones con expresiones racionales con variables en el numerador, en el denominador o en ambos. Naturalmente, también es posible invertir el proceso y descubrir el conjunto original de fracciones polinómicas. Este proceso se llama descomposición parcial de fracciones. ¡Intentemos descomponer algunas fracciones en la siguiente sección!
Paso 1: Utilizar las técnicas de factorización de polinomios para simplificar el denominador. Reescribamos el segundo término del denominador \({x}^{2}+4x-5\) como una suma de dos términos. Te preguntarás, ¿cuáles son los dos? En primer lugar, vamos a encontrar dos números que suman a \(4\) y se multiplican a \(-5\). Después de probar los factores de \(-5\), encontrarás que estos dos números son \(-1\) y \(5\). Esto nos permite simplificar el denominador como \((x-1)(x+5)\N.)
Hoja de trabajo de integración por fracciones parciales pdf
Anteriormente en este capítulo, estudiamos sistemas de dos ecuaciones en dos variables, sistemas de tres ecuaciones en tres variables y sistemas no lineales. Aquí introducimos otra forma en que se pueden utilizar los sistemas de ecuaciones: la descomposición de expresiones racionales.
Investigaremos expresiones racionales con factores lineales y factores cuadráticos en el denominador donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Independientemente del tipo de expresión que estemos descomponiendo, lo primero y más importante es factorizar el denominador.
Cuando el denominador de la expresión simplificada contiene distintos factores lineales, es probable que cada una de las expresiones racionales originales, que se sumaron o restaron, tuviera uno de los factores lineales como denominador. En otras palabras, utilizando el ejemplo anterior, los factores de
los denominadores de la expresión racional descompuesta. Así que reescribiremos la forma simplificada como la suma de fracciones individuales y utilizaremos una variable para cada numerador. Luego, resolveremos para cada numerador usando uno de los varios métodos disponibles para la descomposición parcial de fracciones.
Problemas de práctica de álgebra
\N – [\frac{2}{x + 1}} + \frac{3}{x + 4}} = \frac{2}{Izquierda( {x + 4} {derecha) + 3}{Izquierda( {x + 1} {derecha)}{Izquierda( {x + 1} {derecha)}{Izquierda( {x + 4} {derecha)}} = \frac{color{rojo}{2x} + \color{azul}8 + \color{rojo}{3x} + \color{blue}3}}{{\color{darkgreen}{x^2} + \color{rojo}x + \color{rojo}{4x} + \color{azul}4} = \frac{{color{rojo}{5x} + \color{blue}{11}}}{{\color{darkgreen}{x^2} + color rojo 5x + \color{azul}4}}.
En una expresión racional adecuada \(\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}},\frac) el grado del numerador \frac{{P\left( x \right)}} es menor que el grado del denominador \frac{Q\left( x \right)}.
Una vez determinada la descomposición en fracciones parciales, se pueden encontrar los coeficientes desconocidos despejando las fracciones e igualando los coeficientes de las potencias similares de los dos lados. El sistema resultante debe tener siempre una solución única.
\N – [\frac{A}{x + 2}} + \frac{B}{x – 4}} = \frac{{A} izquierda( {x – 4} {derecha) + B} izquierda( {x + 2} {derecha)}} {{Izquierda( {x + 2} {derecha)}{Izquierda( {x – 4} {derecha)}} = \frac{{Ax – 4A + Bx + 2B}}{{Izquierda( {x + 2} \right)\NIzquierda( {x – 4} \right)}} = {frac{{Izquierda( {A + B} \right)x + \NIzquierda( {2B – 4A} \right)}}{{Izquierda( {x + 2} \right)\NIzquierda( {x – 4} \right)}}. \]
