Derivadas parciales ejercicios resueltos pdf

Solución de derivadas parciales pdf

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Tenga en cuenta que algunas secciones tendrán más problemas que otras y algunas tendrán más o menos variedad de problemas. La mayoría de las secciones deberían tener un rango de niveles de dificultad en los problemas aunque esto variará de una sección a otra.

Límites – En la sección echaremos un vistazo rápido a la evaluación de límites de funciones de varias variables. También veremos un método bastante rápido que puede utilizarse, en ocasiones, para demostrar que algunos límites no existen.

Derivadas parciales – En esta sección veremos la idea de las derivadas parciales. Daremos la definición formal de la derivada parcial, así como las notaciones estándar y cómo calcularlas en la práctica (es decir, sin usar la definición). Como verás, si sabes hacer derivadas de funciones de una variable no tendrás mucho problema con las derivadas parciales. Sólo hay una sutileza (muy importante) que debes tener siempre en cuenta al calcular las derivadas parciales.

Regla del producto de las derivadas parciales

P14.1.1 Sea \N(f(x,y)=(x-y)^2\). Determine las ecuaciones y formas de las secciones transversales cuando \(x=0\), \(y=0\), \(x=y\), y describa las curvas de nivel. Utiliza una herramienta gráfica tridimensional para graficar la superficie. (respuesta)

P14.1.2 Sea \N(f(x,y)=|x|+|y||). Determine las ecuaciones y formas de las secciones transversales cuando \(x=0\), \(y=0\), \(x=y\), y describa las curvas de nivel. Utiliza una herramienta gráfica tridimensional para graficar la superficie. (respuesta)

P14.1.3 Sea \N(f(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}\Nsin(x^2+y^2)\Nsin). Determina las ecuaciones y formas de las secciones transversales cuando \(x=0\), \(y=0\), \(x=y\), y describe las curvas de nivel. Utiliza una herramienta gráfica tridimensional para graficar la superficie. (respuesta)

P14.1.4 Sea \N(f(x,y)=\Nsin(x-y)\Nsin). Determine las ecuaciones y formas de las secciones transversales cuando \(x=0\), \(y=0\), \(x=y\), y describa las curvas de nivel. Utiliza una herramienta gráfica tridimensional para graficar la superficie. (respuesta)

P14.1.5 Sea \N(f(x,y)=(x^2-y^2)^2\). Determine las ecuaciones y formas de las secciones transversales cuando \(x=0\), \(y=0\), \(x=y\), y describa las curvas de nivel. Utiliza una herramienta gráfica tridimensional para graficar la superficie. (respuesta)

Ejercicios de diferenciación parcial con soluciones

Ahora que hemos examinado los límites y la continuidad de las funciones de dos variables, podemos proceder a estudiar las derivadas. Encontrar derivadas de funciones de dos variables es el concepto clave de este capítulo, con tantas aplicaciones en matemáticas, ciencia e ingeniería como la diferenciación de funciones de una sola variable. Sin embargo, ya hemos visto que los límites y la continuidad de las funciones multivariables tienen nuevos problemas y requieren nueva terminología e ideas para tratarlos. Esto se traslada también a la diferenciación.

Al estudiar las derivadas de funciones de una variable, encontramos que una interpretación de la derivada es una tasa de cambio instantánea de yy en función de x.x. La notación de Leibniz para la derivada es dy/dx,dy/dx, que implica que yy es la variable dependiente y xx es la variable independiente. Para una función z=f(x,y)z=f(x,y) de dos variables, xx e yy son las variables independientes y zz es la variable dependiente. Esto plantea enseguida dos cuestiones: ¿Cómo adaptamos la notación de Leibniz para las funciones de dos variables? Además, ¿cuál es la interpretación de la derivada? La respuesta está en las derivadas parciales.

Preguntas de opción múltiple sobre diferenciación parcial pdf

Sea y una función de x. Hemos estudiado con gran detalle la derivada de y con respecto a x, es decir, dydx, que mide la tasa de cambio de y con respecto a x. Consideremos ahora z=f(x,y). Tiene sentido querer saber cómo cambia z con respecto a x y/o a y. Esta sección comienza nuestra investigación sobre estas tasas de cambio.

Considere la función z=f(x,y)=x2+2y2, como se grafica en la figura 13.3.1(a). Al fijar y=2, centramos nuestra atención en todos los puntos de la superficie en los que el valor de y es 2, que se muestran en ambas partes (a) y (b) de la figura. Estos puntos forman una curva en el espacio: z=f(x,2)=x2+8 que es una función de una sola variable. Podemos tomar la derivada de z con respecto a x a lo largo de esta curva y encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes, etc.

Hemos mostrado cómo calcular una derivada parcial, pero puede que aún no esté claro qué significa una derivada parcial. Dado z=f(x,y), fx(x,y) mide la velocidad a la que cambia z cuando sólo varía x: y se mantiene constante.

Imagina que estás en un prado ondulado y empiezas a caminar hacia el este. Dependiendo de su ubicación, puede que camine hacia arriba, hacia abajo, o quizás no cambie de elevación en absoluto. Esto es similar a la medición de zx: sólo se mueve hacia el este (en la dirección «x») y no hacia el norte/sur. Volviendo a su ubicación original, imagine que ahora camina hacia el norte (en la dirección «y»). Tal vez al caminar hacia el norte no cambie su elevación en absoluto. Esto es análogo a zy=0: z no cambia con respecto a y. Podemos ver que zx y zy no tienen por qué ser iguales, ni siquiera similares, ya que es fácil imaginar circunstancias en las que caminar hacia el este signifique caminar cuesta abajo, aunque caminar hacia el norte te haga caminar cuesta arriba.