Derivadas parciales (hoja de ejercicios)
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No tengo el tiempo que solía tener para escribir reseñas… Sin embargo, tenía que escribir una muy rápido para este gran libro sobre las EDP (ya que nadie más lo ha hecho.) Originalmente compré este libro para complementar otro que era terrible. Desde entonces lo he usado repetidamente como referencia/refresco. Así es como deberían ser todos los libros de texto.
Preguntas y respuestas de diferenciación parcial pdf
Sea y una función de x. Hemos estudiado con gran detalle la derivada de y con respecto a x, es decir, dydx, que mide la tasa de cambio de y con respecto a x. Consideremos ahora z=f(x,y). Tiene sentido querer saber cómo cambia z con respecto a x y/o a y. Esta sección comienza nuestra investigación sobre estas tasas de cambio.
Considere la función z=f(x,y)=x2+2y2, como se grafica en la figura 13.3.1(a). Al fijar y=2, centramos nuestra atención en todos los puntos de la superficie en los que el valor de y es 2, que se muestran en ambas partes (a) y (b) de la figura. Estos puntos forman una curva en el espacio: z=f(x,2)=x2+8 que es una función de una sola variable. Podemos tomar la derivada de z con respecto a x a lo largo de esta curva y encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes, etc.
Hemos mostrado cómo calcular una derivada parcial, pero puede que aún no esté claro qué significa una derivada parcial. Dado z=f(x,y), fx(x,y) mide la velocidad a la que cambia z cuando sólo varía x: y se mantiene constante.
Imagina que estás en un prado ondulado y empiezas a caminar hacia el este. Dependiendo de su ubicación, puede que camine hacia arriba, hacia abajo, o quizás no cambie de elevación en absoluto. Esto es similar a la medición de zx: sólo se mueve hacia el este (en la dirección «x») y no hacia el norte/sur. Volviendo a su ubicación original, imagine que ahora camina hacia el norte (en la dirección «y»). Tal vez al caminar hacia el norte no cambie su elevación en absoluto. Esto es análogo a zy=0: z no cambia con respecto a y. Podemos ver que zx y zy no tienen por qué ser iguales, ni siquiera similares, ya que es fácil imaginar circunstancias en las que caminar hacia el este signifique caminar cuesta abajo, aunque caminar hacia el norte te haga caminar cuesta arriba.
Hoja de trabajo de derivadas parciales con respuestas
Regla constante Regla múltiple Regla de adición/resta Regla de potencia Regla del producto Regla del cociente Regla de la cadena Derivadas trigonométricas Derivadas trigonométricas inversas Diferenciación implícita Derivadas exponenciales Derivadas logarítmicas Diferenciación logarítmica Derivadas de funciones inversas Derivadas hiperbólicas Derivadas hiperbólicas inversas Derivadas de orden superior Trucos de derivación
(Primer) Teorema Fundamental del Cálculo Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integración por Sustitución Sustitución Integral – Términos Extra Integrales Definidas Usando Sustitución Integración Por Partes Fracciones Parciales
Integración Trig Calc 1 Integración Trig Calc 2 Sustitución de Weierstrass Integración inversa seno-coseno Fórmula de reducción del seno Fórmula de reducción del coseno Integración secante-tangente Fórmula de reducción de la tangente Fórmula de reducción de la secante Sustitución Trig Sustitución Tangente Sustitución Seno Sustitución Secante
Prueba de divergencia (enésimo término) Serie p Serie geométrica Serie alterna Serie telescópica Prueba de relación Prueba de comparación de límites Prueba de comparación directa Prueba integral Prueba de raíz Tabla de series infinitas Por dónde empezar – Elegir una prueba
Ejemplos de derivadas parciales
Ahora que hemos examinado los límites y la continuidad de las funciones de dos variables, podemos proceder a estudiar las derivadas. Encontrar derivadas de funciones de dos variables es el concepto clave de este capítulo, con tantas aplicaciones en matemáticas, ciencia e ingeniería como la diferenciación de funciones de una sola variable. Sin embargo, ya hemos visto que los límites y la continuidad de las funciones multivariables tienen nuevos problemas y requieren nueva terminología e ideas para tratarlos. Esto se traslada también a la diferenciación.
Al estudiar las derivadas de funciones de una variable, encontramos que una interpretación de la derivada es una tasa de cambio instantánea de yy en función de x.x. La notación de Leibniz para la derivada es dy/dx,dy/dx, que implica que yy es la variable dependiente y xx es la variable independiente. Para una función z=f(x,y)z=f(x,y) de dos variables, xx e yy son las variables independientes y zz es la variable dependiente. Esto plantea enseguida dos cuestiones: ¿Cómo adaptamos la notación de Leibniz para las funciones de dos variables? Además, ¿cuál es la interpretación de la derivada? La respuesta está en las derivadas parciales.
