Problemas de muestras de intervalos estadísticos
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Se sabe que la desviación estándar de las alturas entre varios grupos étnicos es de aproximadamente tres pulgadas. Se desea construir un intervalo de confianza del 95% para la altura media de los hombres suecos. Se encuestan 48 hombres suecos. La media de la muestra es de 71 pulgadas. La desviación estándar de la muestra es de 2,8 pulgadas.
e. El límite de error disminuirá en tamaño, porque el tamaño de la muestra aumentó. Recordemos que, cuando todos los factores permanecen inalterados, un aumento del tamaño de la muestra disminuye la variabilidad. Por lo tanto, no necesitamos un intervalo tan grande para capturar la verdadera media de la población.
Se eligieron al azar anuncios de 84 conferencias de ingeniería de una pila de revistas IEEE Spectrum. La duración media de las conferencias fue de 3,94 días, con una desviación estándar de 1,28 días. Supongamos que la población subyacente es normal.
Supongamos que una empresa de contabilidad realiza un estudio para determinar el tiempo necesario para completar los formularios de impuestos de una persona. Encuesta aleatoriamente a 100 personas. La media de la muestra es de 23,6 horas. Se conoce una desviación estándar de 7,0 horas. Se supone que la distribución de la población es normal.
Problemas de práctica de intervalos de confianza con respuestas
Una muestra de pacientes con Alzheimer se somete a una prueba para evaluar la cantidad de tiempo en la etapa IV del sueño. Se ha planteado la hipótesis de que los individuos que padecen la enfermedad de Alzheimer pueden pasar menos tiempo por noche en las etapas más profundas del sueño. Se registra el número de minutos que pasan en el estadio IV del sueño de sesenta y un pacientes. La muestra produjo una media de 48 minutos (S=14 minutos) de sueño en fase IV durante un periodo de 24 horas. Calcule un intervalo de confianza del 95 por ciento para estos datos. ¿Qué le dice esta información sobre el estadio IV del sueño de un individuo en particular (un paciente de Alzheimer)?
Una universidad quiere saber más sobre los conocimientos de los estudiantes sobre los acontecimientos internacionales. Les preocupa que sus alumnos estén desinformados respecto a las novedades de otros países. Se utiliza un test estandarizado para evaluar los conocimientos de los estudiantes sobre los acontecimientos mundiales (media nacional declarada=65, S=5). Se examina a una muestra de 30 alumnos (media de la muestra=58, error estándar=3,2). Calcule un intervalo de confianza del 99 por ciento basado en los datos de esta muestra. ¿Cómo se comparan estos estudiantes con la muestra nacional?
Calcular el intervalo de confianza del 95%
Hemos visto que la media de la muestra \(\bar{X}\) tiene una media \(\mu\) y una varianza \(\dfrac{\sigma^2}{n}\), y que la distribución de \(\bar{X}\) es aproximadamente Normal cuando el tamaño de la muestra \(n\) es grande. Esto plantea la pregunta: ¿Cómo de grande es «un tamaño de muestra grande»? Las directrices adecuadas deben tener en cuenta la naturaleza de la población de la que se toma la muestra, en la medida en que sea posible; esto se explicará más adelante en esta sección.
Es realmente importante reflexionar sobre este enunciado de probabilidad. Nótese que tiene \(\mu\) en el centro de las desigualdades. El parámetro poblacional \(\mu\) no varía: es fijo, pero desconocido. El elemento aleatorio en este enunciado de probabilidad es el intervalo aleatorio alrededor de \(\mu\).
Esto constituye la base del intervalo de confianza aproximado del 95% para la verdadera media \(\mu\). En un caso dado, sólo tenemos una única media muestral \(\bar{x}\). Un intervalo de confianza aproximado del 95% para \(\mu\) viene dado por
La desviación estándar de la muestra es una estimación de la desviación estándar de la población. Al igual que \(\bar{X}\) es una variable aleatoria que estima \(\mu\) y tiene un valor observado \(\bar{x}\) para una muestra específica, \(S\) es una variable aleatoria que estima \(\sigma\) y tiene un valor observado \(s\) para una muestra específica. La desviación típica de la muestra (que se trata en el plan de estudios nacional del 10º curso) se define como sigue. Para una muestra aleatoria \(X_1, X_2, \dots, X_n\) de una población con desviación estándar \(\sigma\), la desviación estándar de la muestra se define como
Calcular el intervalo de confianza
La siguiente tabla, del 5º examen de la cohorte Framingham Offspring, muestra el número de hombres y mujeres con o sin enfermedad cardiovascular (ECV). Calcule la prevalencia de la ECV en los hombres utilizando un intervalo de confianza del 95%.
La prevalencia de la enfermedad cardiovascular (ECV) entre los hombres es de 244/1792=0,1362. El tamaño de la muestra es grande y satisface el requisito de que el número de aciertos sea superior a 5 y el número de fallos sea superior a 5. Por lo tanto, se puede volver a utilizar la siguiente fórmula.
La estimación puntual de la diferencia de proporciones es (0,46-0,22)=0,24. Obsérvese que el grupo de tratamiento nuevo es el grupo 1, y el grupo de tratamiento estándar es el grupo 2. Por lo tanto, un 24% más de pacientes informaron de una reducción significativa del dolor con el nuevo fármaco en comparación con el analgésico estándar. Dado que hay más de 5 eventos (alivio del dolor) y no eventos (ausencia de alivio del dolor) en cada grupo, se puede utilizar la fórmula de muestra grande utilizando la puntuación z.
Interpretación: Nuestra mejor estimación es un aumento del 24% en el alivio del dolor con el nuevo tratamiento, y con un 95% de confianza, la diferencia de riesgo está entre el 6% y el 42%. Dado que el intervalo de confianza del 95% no contiene el valor nulo de 0, podemos concluir que existe una mejora estadísticamente significativa con el nuevo tratamiento.
