Desigualdad a la notación de intervalo
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Cuando resolvemos una ecuación encontramos un único valor para nuestra variable. Con las inecuaciones daremos un rango de valores para nuestra variable. Para ello no utilizaremos un signo de igualdad, sino uno de los siguientes símbolos:
Suele ser útil dibujar las soluciones de la inecuación en una recta numérica. Partiremos del valor del problema y pondremos en negrita la parte inferior de la recta numérica si la variable es menor que el número, y en negrita la parte superior de la recta numérica si la variable es mayor. El propio valor lo marcaremos con un círculo abierto o cerrado: abierto para menor o mayor que, y un círculo cerrado para menor o igual que o mayor que.
Una vez dibujada la gráfica podemos convertirla rápidamente en lo que se llama notación de intervalo. La notación de intervalo da dos números, el primero es el valor más pequeño (el más a la izquierda de la recta numérica), el segundo es el valor más grande (el más a la derecha de la recta numérica). Utilizaremos corchetes si la desigualdad incluye o es igual a (por lo tanto, o bien \(\leq\) o bien \(\geq\)). Utilizaremos paréntesis redondos si la desigualdad es estrictamente menor o mayor que (por tanto, o bien \(\lt\) o bien \(\gt\)). Si no hay un valor mayor, podemos utilizar \(\infty\) (infinito). Si no hay valor más pequeño, podemos utilizar \(-\infty\) (infinito negativo). Si utilizamos el infinito positivo o negativo, siempre utilizaremos un corchete junto al símbolo.
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La notación de intervalos es un método para representar un intervalo en una recta numérica. En otras palabras, es una forma de escribir subconjuntos de la recta numérica real. Un intervalo comprende los números que se encuentran entre dos números específicos dados. Por ejemplo, el conjunto de números x que satisfacen 0 ≤ x ≤ 5 es un intervalo que contiene 0, 5 y todos los números entre 0 y 5.
La notación de intervalos es una forma de expresar un subconjunto de números reales mediante los números que los limitan. Podemos utilizar esta notación para representar desigualdades. Sabemos que un intervalo expresado como 1 < x < 5 denota un conjunto de números comprendidos entre 1 y 5.
Los intervalos pueden clasificarse en función de los números que componen el conjunto. Algunos conjuntos incluyen los puntos finales especificados en la notación, mientras que otros pueden incluir parcialmente o no los puntos finales. En general, existen tres tipos de intervalos dados como,
Este tipo de intervalo no incluye los puntos finales de la desigualdad. Por ejemplo, el conjunto {x | -3 < x < 1} no incluye los puntos finales, -3 y 1. Esto se expresa usando la notación de intervalo abierto: (-3, 1).
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Hay muchas oportunidades de cometer errores con las inecuaciones de valor absoluto, así que vamos a tratar este tema poco a poco y a ver algunas imágenes útiles en el camino. Cuando terminemos, espero que tengas una buena imagen en tu cabeza de lo que sucede, para que no cometas algunos de los errores más comunes. Una vez que entiendas cómo funcionan estas desigualdades, esto no es tan malo.
Esto es una desigualdad. Mientras que la solución de una ecuación de valor absoluto son puntos (como en el gráfico anterior), la solución de una desigualdad de valor absoluto (o «inecuación») serán intervalos.
En esta desigualdad, me piden que encuentre todos los valores de x que estén a menos de tres unidades de cero en cualquier dirección, así que la solución será el conjunto de todos los puntos que estén a menos de tres unidades de cero. En primer lugar, voy a dibujar una recta numérica:
Mirando la desigualdad, veo que el número 1 funcionará como solución, al igual que -1, porque cada uno de ellos está a menos de tres unidades de cero. El número 2 funcionará, al igual que el -2. Pero el 4 no funcionará, ni tampoco el -4, porque están demasiado lejos de cero. Incluso el 3 y el -3 no funcionarán (aunque están justo en el límite), porque se trata de una desigualdad «menor que» (pero no igual a).
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Aprendimos a resolver inecuaciones lineales después de aprender a resolver ecuaciones lineales. Las técnicas eran muy parecidas con una excepción importante. Cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte.
Cuando resolvamos una inecuación racional, utilizaremos muchas de las técnicas que utilizamos para resolver inecuaciones lineales. Especialmente debemos recordar que cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo, el signo de la desigualdad debe invertirse.
Cuando resolvemos una desigualdad y el resultado es sabemos que hay muchas soluciones. Graficamos el resultado para ayudar a mostrar mejor todas las soluciones, y empezamos con el 3. El 3 se convierte en un punto crítico y entonces decidimos si sombreamos a la izquierda o a la derecha del mismo. Los números a la derecha del 3 son mayores que el 3, así que sombreamos a la derecha.
A continuación, evaluaremos los factores del numerador y del denominador, y encontraremos el cociente en cada intervalo. Esto identificará el intervalo, o los intervalos, que contienen todas las soluciones de la desigualdad racional.
