Ejercicios de coordenadas polares respuestas
Contenido
Hasta ahora, la mayoría de las veces hemos dado la ubicación de un punto (o de las coordiandas de un vector) indicando las coordenadas \((x,y)\Npolares. Estas coordenadas se denominan coordenadas cartesianas (o rectangulares). Algunos problemas son mucho más fáciles de trabajar si sabemos a qué distancia está un punto del origen, junto con el ángulo entre el eje \(x\)-y una semirrecta desde el origen hasta el punto.
Supongamos que un punto \(Q=(a,b)\) está a 6 unidades del origen, y el ángulo que forma la semirrecta \(\vec{OQ}\) con el eje \(x\)-es de \(\pi/4\) radianes. Hallar las coordenadas cartesianas (rectangulares) \((a,b)\Nde \NQ(Q\text{.})
Sea \(Q\) un punto del plano con coordenadas cartesianas \((x,y)\text{.}) Sea \(O=(0,0)\Nel origen. Definimos las coordenadas polares de \(Q\) como el par ordenado \((r,\theta)\) donde \(r\) es el desplazamiento desde el origen a \(Q\text{,}\}) y \(\theta\) es un ángulo de rotación (en sentido contrario a las agujas del reloj) desde el eje \(x\)\} al rayo \(\vec {OP}\text{.}\}
\end{pmatrix}\text{.}\) Se trata de una ecuación vectorial en la que se introducen las coordenadas polares ((r,\theta)) y se obtienen las coordenadas cartesianas ((x,y)). Así que se introduce una cosa para obtener una cosa, lo que significa que tenemos una función. Podríamos escribir \(\vec T(r,\theta) = (r\cos\theta,r\sin\theta)\text{,}) donde hemos utilizado la letra \(T\) como el nombre de la función porque es una transformación entre sistemas de coordenadas. Para enfatizar que el dominio y el rango son ambos sistemas bidimensionales, también podríamos escribir \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2text{,}\) En el próximo capítulo, pasaremos más tiempo con esta notación.
Ejercicios de coordenadas polares
El sistema de coordenadas rectangulares (o plano cartesiano) proporciona un medio para mapear puntos a pares ordenados y pares ordenados a puntos. Esto se llama un mapeo uno a uno de puntos en el plano a pares ordenados. El sistema de coordenadas polares ofrece un método alternativo para asignar puntos a pares ordenados. En esta sección veremos que, en algunas circunstancias, las coordenadas polares pueden ser más útiles que las coordenadas rectangulares.
Para encontrar las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas polares, considere (Figura). El punto tiene coordenadas cartesianas El segmento de recta que une el origen con el punto mide la distancia desde el origen hasta y tiene longitud El ángulo entre el eje positivo y el segmento de recta tiene medida Esta observación sugiere una correspondencia natural entre el par de coordenadas y los valores y Esta correspondencia es la base del sistema de coordenadas polares. Obsérvese que cada punto del plano cartesiano tiene asociados dos valores (de ahí el término par ordenado). En el sistema de coordenadas polares, cada punto tiene también dos valores asociados: y
Fórmula de coordenadas polares
A más de \(12\) kilómetros del puerto, un velero se encuentra con mal tiempo y es desviado de su rumbo por un viento de \(16\) nudos (véase la figura \(\PageIndex{1}\)). ¿Cómo puede el marinero indicar su ubicación a los guardacostas? En esta sección, investigaremos un método para representar la ubicación que es diferente de una cuadrícula de coordenadas estándar.
Cuando pensamos en trazar puntos en el plano, solemos pensar en coordenadas rectangulares \((x,y)\Nen el plano de coordenadas cartesianas. Sin embargo, hay otras formas de escribir un par de coordenadas y otros tipos de sistemas de cuadrículas. En esta sección, introducimos a las coordenadas polares, que son puntos etiquetados \((r,\theta)\theta) y trazados en una cuadrícula polar. La rejilla polar se representa como una serie de círculos concéntricos que irradian desde el polo, o el origen del plano de coordenadas.
La rejilla polar se escala como el círculo unitario, con el eje positivo \(x\) visto ahora como el eje polar y el origen como el polo. La primera coordenada \(r\) es el radio o la longitud del segmento de línea dirigido desde el polo. El ángulo \(\theta\), medido en radianes, indica la dirección de \(r\). Nos movemos en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje polar en un ángulo de \(\theta\),y medimos un segmento de línea dirigida de la longitud de \(r\) en la dirección de \(\theta\). Aunque primero midamos \(\theta\) y luego \(r\), el punto polar se escribe primero con la coordenada \(r\). Por ejemplo, para graficar el punto \(\left(2,\dfrac{pi}{4}\right)\), moveríamos \(\dfrac{pi}{4}\) unidades en la dirección contraria a las agujas del reloj y luego una longitud de \(2\) desde el polo. Este punto se representa en la cuadrícula de la figura \(\PageIndex{2}\).
Lección de coordenadas polares
A más de 12 kilómetros del puerto, un velero se encuentra con mal tiempo y es desviado de su rumbo por un viento de 16 nudos. ¿Cómo puede el marinero indicar su ubicación a los guardacostas? En esta sección, investigaremos un método de representación de la ubicación que es diferente de una cuadrícula de coordenadas estándar.
Cuando pensamos en trazar puntos en el plano, solemos pensar en las coordenadas rectangulares [latex]\left(x,y\right)[/latex] en el plano de coordenadas cartesianas. Sin embargo, hay otras formas de escribir un par de coordenadas y otros tipos de sistemas de coordenadas. En esta sección, introducimos las coordenadas polares, que son puntos etiquetados como [latex]\left(r,\theta\right)[/latex] y trazados en una rejilla polar. La rejilla polar se representa como una serie de círculos concéntricos que irradian desde el polo, o el origen del plano de coordenadas.
La rejilla polar se escala como el círculo unitario con el eje x positivo visto ahora como el eje polar y el origen como el polo. La primera coordenada [latex]r[/latex] es el radio o la longitud del segmento de línea dirigido desde el polo. El ángulo [latex]\theta[/latex], medido en radianes, indica la dirección de [latex]r[/latex]. Nos movemos en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje polar en un ángulo de [latex]\theta[/latex], y medimos un segmento de línea dirigido de la longitud de [latex]r[/latex] en la dirección de [latex]\theta[/latex]. Aunque medimos primero [latex]\theta[/latex] y luego [latex]r[/latex], el punto polar se escribe primero con la coordenada r. Por ejemplo, para trazar el punto [latex]\left(2,\frac{\pi }{4}\right)[/latex], nos moveríamos [latex]\frac{\pi }{4}[/latex] unidades en el sentido contrario a las agujas del reloj y luego una longitud de 2 desde el polo. Este punto está representado en la cuadrícula de la figura 2.
