Calculadora del criterio Routh-Hurwitz
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En la teoría de los sistemas de control, el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es una prueba matemática que constituye una condición necesaria y suficiente para la estabilidad de un sistema dinámico lineal invariante en el tiempo (LTI) o un sistema de control. Un sistema estable es aquel cuya señal de salida está acotada; la posición, la velocidad o la energía no aumentan hasta el infinito con el paso del tiempo. El test de Routh es un algoritmo recursivo eficiente que el matemático inglés Edward John Routh propuso en 1876 para determinar si todas las raíces del polinomio característico de un sistema lineal tienen partes reales negativas. [El matemático alemán Adolf Hurwitz propuso de forma independiente en 1895 ordenar los coeficientes del polinomio en una matriz cuadrada, llamada matriz de Hurwitz, y demostró que el polinomio es estable si y sólo si la secuencia de determinantes de sus submatrices principales son todas positivas[2]. Un polinomio que satisface el criterio de Routh-Hurwitz se llama polinomio de Hurwitz.
Criterio de Routh-Hurwitz pdf
El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es un procedimiento algebraico para determinar si un polinomio tiene algún cero en el semiplano derecho. Consiste en examinar los signos y magnitudes de los coeficientes de la ecuación característica sin tener que determinar sus raíces. Este método no indica el grado relativo de estabilidad o inestabilidad.
Routh [3] y Hurwitz [4] determinaron independientemente las condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad a partir de los signos y magnitudes de los coeficientes de la ecuación característica. A continuación se describe una forma útil de su enfoque.
Si un coeficiente es negativo o cero cuando al menos uno de los otros coeficientes es positivo, entonces existe una raíz que está en el semiplano derecho o es imaginaria. En este caso, el sistema es inestable y se puede parar aquí. Si todos los coeficientes están presentes, son reales y positivos, entonces los coeficientes se disponen en dos filas:
Polinomio de Hurwitz ejemplos resueltos pdf
En este capítulo, vamos a discutir el análisis de la estabilidad en el dominio ‘s’ utilizando el criterio de estabilidad de RouthHurwitz. En este criterio, requerimos la ecuación característica para encontrar la estabilidad de los sistemas de control de lazo cerrado.
El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz tiene una condición necesaria y una condición suficiente para la estabilidad. Si cualquier sistema de control no satisface la condición necesaria, entonces podemos decir que el sistema de control es inestable. Pero, si el sistema de control satisface la condición necesaria, entonces puede o no ser estable. Por lo tanto, la condición suficiente es útil para saber si el sistema de control es estable o no.
La condición suficiente es que todos los elementos de la primera columna de la matriz de Routh deben tener el mismo signo. Esto significa que todos los elementos de la primera columna de la matriz de Routh deben ser positivos o negativos.
Si todas las raíces de la ecuación característica existen en la mitad izquierda del plano «s», entonces el sistema de control es estable. Si al menos una raíz de la ecuación característica existe en la mitad derecha del plano «s», entonces el sistema de control es inestable. Por lo tanto, tenemos que encontrar las raíces de la ecuación característica para saber si el sistema de control es estable o inestable. Pero, es difícil encontrar las raíces de la ecuación característica a medida que el orden aumenta.
Teorema de Routh Hurwitz
Un sistema autónomo no lineal puede reducirse al sistema lineal realizando una linealización alrededor de un punto de equilibrio. Entonces, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el punto de equilibrio está en el origen. Siempre es posible alcanzarlo eligiendo un sistema de coordenadas adecuado.
La estabilidad o inestabilidad del estado de equilibrio viene determinada por los signos de las partes reales de los valores propios de \(A.\) Para encontrar los valores propios \(\lambda,\) es necesario resolver la ecuación auxiliar
Las raíces de esta ecuación se pueden calcular fácilmente en el caso \(n = 2,\) y en algunos casos cuando \(n \ge 3.\) En otros casos, la resolución de la ecuación auxiliar puede ser un problema difícil. Además, el matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) demostró un teorema según el cual la ecuación algebraica general de grado (n) no puede resolverse mediante cuatro operaciones aritméticas básicas, es decir, no existe una fórmula que exprese las raíces de la ecuación a través de sus coeficientes en el caso (n).
