Serie binomial negativa
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Teorema del binomio: El teorema del binomio es el teorema más utilizado en matemáticas. El teorema del binomio es una técnica para expandir una expresión binomial elevada a cualquier potencia finita. Se utiliza para resolver problemas de combinatoria, álgebra, cálculo, probabilidad, etc. Se utiliza para comparar dos números grandes, para encontrar el resto cuando un número elevado a algún exponente grande se divide por otro número y se utiliza en la probabilidad para encontrar el éxito o el fracaso de un experimento. El teorema del binomio también se utiliza en la previsión meteorológica, la predicción de la economía nacional en los próximos años y la distribución de las direcciones IP. Conozcamos el teorema del binomio en detalle.
El teorema del binomio es una técnica para expandir una expresión binomial elevada a cualquier potencia finita. Una expresión algebraica con dos términos distintos se conoce como expresión binomial. Por ejemplo, \(a + b,\Ny,2x – {y^3}), etc. La expansión algebraica de las potencias binomiales se describe mediante el teorema del binomio, que utiliza los triángulos de Pascal para calcular los coeficientes.
Prueba de la serie binomial
Las siguientes son las definiciones comunes de los Coeficientes Binomiales. Un coeficiente binomial C(n, k) puede definirse como el coeficiente de x^k en la expansión de (1 + x)^n.Un coeficiente binomial C(n, k) también da el número de formas, sin tener en cuenta el orden, en que se pueden elegir k objetos de entre n objetos más formalmente, el número de subconjuntos de k elementos (o k-combinaciones) de un conjunto de n elementos.El Problema Escriba una función que tome dos parámetros n y k y devuelva el valor del Coeficiente Binomial C(n, k). Por ejemplo, su función debería devolver 6 para n = 4 y k = 2, y debería devolver 10 para n = 5 y k = 2.Práctica recomendadaCrTry It!1) Subestructura óptima El valor de C(n, k) puede calcularse recursivamente utilizando la siguiente fórmula estándar para Coeficientes Binomiales.
(a*b) mod m = ((a % m) * (b % m)) % m2. y para la parte de 1/r!, necesitamos encontrar la inversa modular de cada número de 1 a r. Entonces usamos la misma fórmula anterior con una inversa modular de 1 a r. Podemos encontrar la inversa modular en tiempo O(r) usando la fórmula, inv[1] = 1
La fórmula binomial de Newton
Antes de aprender las fórmulas de expansión del binomio, recordemos qué es un «binomio». Un binomio es una expresión algebraica con dos términos. Por ejemplo, a + b, x – y, etc. son binomios. Tenemos un conjunto de identidades algebraicas para encontrar la expansión cuando un binomio se eleva a exponentes 2 y 3. Por ejemplo, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. ¿Pero qué pasa si los exponentes son números mayores? Es tedioso encontrar la expansión manualmente. La fórmula de la expansión binomial facilita este proceso. Aprendamos la fórmula de expansión del binomio junto con algunos ejemplos resueltos.
Como hemos comentado en la sección anterior, las fórmulas de expansión del binomio se utilizan para encontrar las potencias de los binomios que no se pueden expandir utilizando las identidades algebraicas. ¡La fórmula de expansión binomial implica coeficientes binomiales que son de la forma \(\left(\begin{array}{l}n \k\end{array}{right)\) (o) \(n_{ C_{k}}) y se calcula utilizando la fórmula, \left(\begin{array}{l}n \k\end{array}{right)\) =n! / [(n – k)! k!]. La fórmula de expansión binomial también se conoce como teorema del binomio. Aquí están las fórmulas de expansión binomial.
Ejercicio del teorema del binomio
Debes darte cuenta rápidamente de que esta fórmula implica que la función generadora del número de subconjuntos de \(n\) elementos de un conjunto de \(p\) elementos es \((1+x)^p\texto{.}\) El tema de las funciones generadoras es el que nos lleva a considerar qué pasa si nos encontramos con \((1+x)^p\) como función generadora con \(p\) no un número entero positivo. Resulta que, extendiendo convenientemente la definición de los coeficientes del binomio a los números reales, también podemos extender el teorema del binomio de una manera originalmente descubierta por Sir Isaac Newton.
recordando que hemos definido \(P(p,k)\Nrecurrentemente como \(P(p,0)=1\Npara todos los enteros \(p\geq 0\) y \(P(p,k)=p P(p-1,k-1)\Ncuando \(p\geq k > 0\) (\(k\) un entero). Nótese aquí, sin embargo, que la expresión para \(P(p,k)\Ntiene sentido para cualquier número real \(p\text{,}\} siempre que \(k\) sea un entero no negativo. Hacemos esta definición formal.
Con esta definición más general de los coeficientes binomiales en la mano, estamos listos para afirmar el Teorema del Binomio de Newton para todos los números reales distintos de cero. La demostración de este teorema se puede encontrar en la mayoría de los libros de cálculo avanzado.
