Hoja de trabajo de problemas de derivadas
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En esta sección veremos algunas aplicaciones de la derivada centrándonos en la interpretación de la derivada como la tasa de cambio de una función. Estas aplicaciones incluyen la aceleración y la velocidad en física, las tasas de crecimiento de la población en biología y las funciones marginales en economía.
Una de las aplicaciones de las derivadas es estimar un valor desconocido de una función en un punto utilizando un valor conocido de una función en un punto dado junto con su tasa de cambio en el punto dado. Si es una función definida en un intervalo , entonces la cantidad de cambio de a lo largo del intervalo es el cambio en los valores de la función a lo largo de ese intervalo y viene dada por
Podemos utilizar esta fórmula si sólo conocemos y y queremos estimar el valor de . Por ejemplo, podemos utilizar la población actual de una ciudad y la tasa de crecimiento para estimar su población en un futuro próximo. Como podemos ver en la (Figura), estamos aproximando por la coordenada at en la línea tangente a at . Obsérvese que la precisión de esta estimación depende tanto del valor de como del valor de .
Ejercicios y soluciones de cálculo pdf
Un depósito de agua rectangular (ver figura inferior) se está llenando a un ritmo constante de 20 litros/segundo. La base del tanque tiene dimensiones w = 1 metro y L = 2 metros. ¿Cuál es la tasa de cambio de la altura del agua en el tanque? (expresa la respuesta en cm / seg).
Un avión vuela en dirección recta y a una altura constante de 5000 metros (véase la figura siguiente). El ángulo de elevación del avión desde un punto de observación fijo es a. La velocidad del avión es de 500 km/hora. ¿Cuál es la tasa de cambio del ángulo a cuando es de 25 grados? (Expresa la respuesta en grados/segundo y redondea a un decimal).
3 – Dos coches comienzan a moverse desde el mismo punto en dos direcciones que hacen 90 grados a las velocidades constantes de s1 y s2. Encuentra una fórmula para la tasa de cambio de la distancia D entre los dos coches.
Problemas de palabras derivadas tasa de cambio
En el apartado 4.1 hemos visto cómo crear, o derivar, una nueva función \N(f'(x)\Na partir de una función \N(f(x)\Ntexto, y que esta nueva función lleva información importante. En un ejemplo vimos que \(f'(x)\Nindica la inclinación de la gráfica de \(f(x)\N; en otro vimos que \(f'(x)\Nnos dice la velocidad de un objeto si \(f(x)\Nrepresenta la posición del objeto en el momento \Nde la función. Como hemos dicho antes, esta misma idea matemática es útil siempre que \(f(x)\) represente alguna cantidad cambiante y queramos saber algo sobre cómo cambia, o más o menos, la «velocidad» a la que cambia. La mayoría de las funciones que se encuentran en la práctica se construyen a partir de una pequeña colección de funciones «primitivas» de algunas maneras sencillas, por ejemplo, sumando o multiplicando funciones para obtener nuevas funciones más complicadas. Para hacer un buen uso de la información proporcionada por \(f'(x)\Nnecesitamos ser capaces de calcularla para una variedad de tales funciones.
El símbolo \(d/dx\) se llama operador diferencial y significa tomar la derivada de la función \(f(x)\ con respecto a la variable \(x\text{.}\} La notación, \(dy/dx\text{.}\} y sus derivaciones nos recuerdan que la derivada está relacionada con una pendiente real entre dos puntos. Esta notación se denomina notación de Leibniz, en honor a Gottfried Leibniz, que desarrolló los fundamentos del cálculo de forma independiente aproximadamente al mismo tiempo que Isaac Newton. Esta notación tiene la ventaja añadida de que indica respecto a qué estamos diferenciando, lo cual es importante en aplicaciones como las tasas relacionadas (véase el apartado 5.2), o el cálculo multivariable (véase el capítulo 7).
Problemas de práctica de derivadas y respuestas pdf
La necesidad de encontrar máximos y mínimos locales surge en muchas situaciones. El primer ejemplo que veremos es muy familiar, y también puede resolverse sin usar el cálculo. Se pueden encontrar ejemplos de resolución de este tipo de problemas sin usar el cálculo en el módulo Cuadrática .
Un agricultor dispone de 8 km de alambre para cercar un terreno rectangular. Uno de los límites del terreno es la orilla de un río recto. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo para que el área sea máxima?
Escribe una expresión para la cantidad que se va a maximizar o minimizar. Elimina algunas de las variables. Forma una ecuación para esta cantidad en términos de una sola variable independiente. Esto puede requerir alguna manipulación algebraica.
Una lámina cuadrada de cartón con cada uno de sus lados de \\N centimetros se va a utilizar para hacer una caja de tapa abierta, cortando un pequeño cuadrado de cartón de cada una de las esquinas y doblando los lados hacia arriba. ¿Cuál es la longitud de los lados de los cuadraditos si se quiere que la caja tenga el mayor volumen posible?
