Ejemplos de derivados simples
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En el cálculo de variaciones, un campo del análisis matemático, la derivada funcional (o derivada variacional)[1] relaciona un cambio en un funcional (un funcional en este sentido es una función que actúa sobre funciones) con un cambio en una función de la que depende el funcional.
En el cálculo de variaciones, las funcionales suelen expresarse en términos de una integral de funciones, sus argumentos y sus derivadas. En una integral L de un funcional, si se varía una función f añadiéndole otra función δf que es arbitrariamente pequeña, y el integrando resultante se expande en potencias de δf, el coeficiente de δf en el término de primer orden se llama derivada del funcional.
donde f ′(x) ≡ df/dx. Si se varía f añadiéndole una función δf, y el integrando resultante L(x, f +δf, f ‘+δf ′) se expande en potencias de δf, entonces el cambio en el valor de J de primer orden en δf puede expresarse como sigue:[1][Nota 1]
{\displaystyle \delta J=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{partial f}\delta f(x)+{\frac {\partial L}{partial f’}}{\frac {d}{dx}\delta f(x)\right)\\f,dx\, =int _{a}^{b} {{frac {parcial L}{parcial f}}-{frac {d}{dx}} {{frac {parcial L}{parcial f’}}} a la derecha)-delta f(x)-, dx,+,{\frac {parcial L}{parcial f’}(b)\fta f(b)\f,-,{\frac {parcial L}{parcial f’}(a)\fta f(a)\f}
Definición de límite de la derivada hoja de trabajo con respuestas pdf
Ahora que tenemos tanto una comprensión conceptual de un límite como la capacidad práctica de calcular límites, hemos establecido la base para nuestro estudio del cálculo, la rama de las matemáticas en la que calculamos derivadas e integrales. La mayoría de los matemáticos e historiadores coinciden en que el cálculo fue desarrollado de forma independiente por el inglés Isaac Newton (1643-1727) y el alemán Gottfried Leibniz (1646-1716), cuyas imágenes aparecen en la figura 3.2. Cuando atribuimos a Newton y Leibniz el desarrollo del cálculo, nos referimos realmente al hecho de que Newton y Leibniz fueron los primeros en comprender la relación entre la derivada y la integral. Ambos matemáticos se beneficiaron del trabajo de sus predecesores, como Barrow, Fermat y Cavalieri. La relación inicial entre los dos matemáticos parece haber sido amistosa; sin embargo, en años posteriores estalló una agria controversia sobre la prioridad de los trabajos de ambos. Aunque parece probable que Newton fuera el primero en llegar a las ideas que sustentan el cálculo, estamos en deuda con Leibniz por la notación que utilizamos habitualmente en la actualidad.
Problemas de derivadas con soluciones
La derivada de una función es uno de los conceptos básicos de las matemáticas. Junto con la integral, la derivada ocupa un lugar central en el cálculo. El proceso de hallar la derivada se llama diferenciación. La operación inversa a la diferenciación se llama integración.
La derivada de una función en algún punto caracteriza la tasa de cambio de la función en ese punto. Podemos estimar la tasa de cambio calculando la relación de cambio de la función Δy con el cambio de la variable independiente Δx. En la definición de derivada, esta relación se considera en el límite cuando Δx → 0. Pasemos a una formulación más rigurosa.
Sea \(f\left( x \right)\Nuna función cuyo dominio contiene un intervalo abierto en torno a algún punto \({x_0}\N.) Entonces se dice que la función \(f\left( x \right)\\Nes diferenciable en \N({x_0}), y la derivada de \N(f\left( x \right)\Nen \N({x_0}) viene dada por
\f’\a la izquierda( {{x_0}}\a la derecha) = \a los límites_{Delta x \a 0}\a la fracción{Delta y}}{{Delta x}} = \a los límites_{Delta x \a 0}\a la fracción{{f\a la izquierda( {{x_0}}+{Delta x}\a la derecha)\a la derivada de f\left( {{x_0}} \right)}}{{Delta x}}. \]
Definición de límite de los ejemplos de derivados
La regla del cociente en cálculo es un método para encontrar la derivada o diferenciación de una función dada en forma de cociente o división de dos funciones diferenciables. Es decir, podemos aplicar la regla del cociente cuando tenemos que encontrar la derivada de una función de la forma: f(x)/g(x), tal que tanto f(x) como g(x) son diferenciables, y g(x) ≠ 0. La regla del cociente sigue directamente la regla del producto y el concepto de límites de la derivación en la diferenciación. Entendamos la fórmula de la regla del cociente, su demostración mediante ejemplos resueltos en detalle en las siguientes secciones.
La regla del cociente en cálculo es un método utilizado para encontrar la derivada de cualquier función dada en forma de cociente obtenida del resultado de la división de dos funciones diferenciables. La regla del cociente en palabras dice que la derivada de un cociente es igual al cociente del resultado obtenido en la resta del numerador por la derivada del denominador por la derivada del numerador al cuadrado del denominador. Esto significa que si nos dan una función de la forma: f(x) = u(x)/v(x), podemos encontrar la derivada de esta función utilizando la derivada de la regla del cociente como,
