Ejercicios y soluciones de cálculo vectorial pdf
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En esta sección veremos algunas aplicaciones de la derivada centrándonos en la interpretación de la derivada como la tasa de cambio de una función. Estas aplicaciones incluyen la aceleración y la velocidad en física, las tasas de crecimiento de la población en biología y las funciones marginales en economía.
Una de las aplicaciones de las derivadas es estimar un valor desconocido de una función en un punto utilizando un valor conocido de una función en un punto dado junto con su tasa de cambio en el punto dado. Si es una función definida en un intervalo , entonces la cantidad de cambio de a lo largo del intervalo es el cambio en los valores de la función a lo largo de ese intervalo y viene dada por
Podemos utilizar esta fórmula si sólo conocemos y y deseamos estimar el valor de . Por ejemplo, podemos utilizar la población actual de una ciudad y la tasa de crecimiento para estimar su población en un futuro próximo. Como podemos ver en la (Figura), estamos aproximando por la coordenada at en la línea tangente a at . Obsérvese que la precisión de esta estimación depende tanto del valor de como del valor de .
Ejercicios de reglas de productos
En el apartado 4.1 hemos visto cómo crear, o derivar, una nueva función \N(f'(x)\Na partir de una función \N(f(x)\Ntext{,}) y que esta nueva función lleva información importante. En un ejemplo vimos que \(f'(x)\Nindica la inclinación de la gráfica de \(f(x)\N; en otro vimos que \(f'(x)\Nnos dice la velocidad de un objeto si \(f(x)\Nrepresenta la posición del objeto en el momento \Nde la función. Como hemos dicho antes, esta misma idea matemática es útil siempre que \(f(x)\) represente alguna cantidad cambiante y queramos saber algo sobre cómo cambia, o más o menos, la «velocidad» a la que cambia. La mayoría de las funciones que se encuentran en la práctica se construyen a partir de una pequeña colección de funciones «primitivas» de algunas maneras sencillas, por ejemplo, sumando o multiplicando funciones para obtener nuevas funciones más complicadas. Para hacer un buen uso de la información proporcionada por \(f'(x)\Nnecesitamos ser capaces de calcularla para una variedad de tales funciones.
El símbolo \(d/dx\) se llama operador diferencial y significa tomar la derivada de la función \(f(x)\ con respecto a la variable \(x\text{.}\} La notación, \(dy/dx\text{.}\} y sus derivaciones nos recuerdan que la derivada está relacionada con una pendiente real entre dos puntos. Esta notación se denomina notación de Leibniz, en honor a Gottfried Leibniz, que desarrolló los fundamentos del cálculo de forma independiente aproximadamente al mismo tiempo que Isaac Newton. Esta notación tiene la ventaja añadida de que indica respecto a qué estamos diferenciando, lo cual es importante en aplicaciones como las tasas relacionadas (véase el apartado 5.2), o el cálculo multivariable (véase el capítulo 7).
Problemas de práctica de derivadas difíciles
Aunque los problemas y soluciones de Límites y Derivadas en PDF tratan el capítulo de forma exhaustiva, hay algunos pasos que pueden adoptarse para una preparación efectiva – (1) Repasar las matemáticas básicas, es decir, Aritmética, Álgebra, Trigonometría, Geometría (2) Tener clara la parte del Cálculo, ya sea Integral o Diferencial (3) Entender y memorizar las fórmulas del Cálculo (4) Pasar a los Límites y aprender sobre ellos (5) Conocer el teorema fundamental del Cálculo (6) Practicar problemas de Cálculo. Si este enfoque es adoptado por los estudiantes, la preparación de Límites y Derivadas Clase 11 NCERT se vuelve significativamente más fácil. 2. ¿Qué conceptos se incluyen en las soluciones de Límites y Derivadas Clase 11?
Los estudiantes deben tener en cuenta que los conceptos del capítulo 13 de las soluciones NCERT para la clase 11 de matemáticas sientan las bases para los posteriores temas avanzados de diferenciación e integración. Los conceptos en las soluciones NCERT de Límites y Derivadas Clase 11 son – (1) Definición de la derivada de una función, (2) Descripción de Límites, (3) Límites de funciones trigonométricas y (4) Derivadas. 3. ¿Cuál es la diferencia entre el cálculo diferencial y el cálculo integral como se encuentra en el capítulo 13 de las soluciones NCERT de la clase 11 de matemáticas?
Ejercicios integrales con soluciones
26) [T] Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(x^3-x\ln y+y^3=2x+5\) en el punto donde \(x=2\). (Sugerencia: Utilice la diferenciación implícita para encontrar \dfrac{dy}{dx}\). Grafique tanto la curva como la recta tangente.
a. A principios de 1960 había 5,3 mil casos de la enfermedad en la ciudad de Nueva York. A principios de 1963 había aproximadamente 723 casos de la enfermedad en los Estados Unidos. b. A principios de 1960 el número de casos de la enfermedad estaba disminuyendo a una tasa de \(-4,611\) mil por año; a principios de 1963, el número de casos de la enfermedad estaba disminuyendo a una tasa de \(-0,2808\) mil por año.
32) [T] La tasa de variación relativa de una función diferenciable \(y=f(x)\) viene dada por \(\frac{100⋅f′(x)}{f(x)}\%.\) Un modelo de crecimiento de la población es una función de crecimiento de Gompertz, dada por \(P(x)=ae^{-b⋅e^{-cx}}) donde \(a,b\), y \(c\) son constantes.
