Cómo resolver problemas de máximos y mínimos
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Una de las aplicaciones más útiles de las derivadas de una función de una variable es la determinación de los valores máximos y/o mínimos. Esta aplicación también es importante para funciones de dos o más variables, pero como hemos visto en secciones anteriores de este capítulo, la introducción de más variables independientes conduce a más resultados posibles para los cálculos. Las ideas principales de encontrar puntos críticos y utilizar pruebas de derivadas siguen siendo válidas, pero aparecen nuevas arrugas al evaluar los resultados.
Para las funciones de una sola variable, definimos los puntos críticos como los valores de la función cuando la derivada es igual a cero o no existe. Para las funciones de dos o más variables, el concepto es esencialmente el mismo, excepto por el hecho de que ahora estamos trabajando con derivadas parciales.
Sea z=f(x,y)z=f(x,y) una función de dos variables que está definida en un conjunto abierto que contiene el punto (x0,y0).(x0,y0). El punto (x0,y0)(x0,y0) se llama punto crítico de una función de dos variables ff si se cumple una de las dos condiciones siguientes:
Aplicación de los problemas de palabras de máximos y mínimos de las derivadas
La necesidad de encontrar máximos y mínimos locales surge en muchas situaciones. El primer ejemplo que veremos es muy familiar, y también puede resolverse sin usar el cálculo. Se pueden encontrar ejemplos de resolución de este tipo de problemas sin utilizar el cálculo en el módulo Cuadrática .
Un agricultor dispone de 8 km de alambre para cercar un terreno rectangular. Uno de los límites del terreno es la orilla de un río recto. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo para que el área sea máxima?
Escribe una expresión para la cantidad que se va a maximizar o minimizar. Elimina algunas de las variables. Forma una ecuación para esta cantidad en términos de una sola variable independiente. Esto puede requerir alguna manipulación algebraica.
Una lámina cuadrada de cartón con cada uno de sus lados de \\N centimetros se va a utilizar para hacer una caja de tapa abierta, cortando un pequeño cuadrado de cartón de cada una de las esquinas y doblando los lados hacia arriba. ¿Cuál es la longitud de los lados de los cuadraditos si se quiere que la caja tenga el mayor volumen posible?
Máximos y mínimos en el cálculo
Una de las aplicaciones más útiles de las derivadas de una función de una variable es la determinación de los valores máximos y/o mínimos. Esta aplicación también es importante para funciones de dos o más variables, pero como hemos visto en secciones anteriores de este capítulo, la introducción de más variables independientes conduce a más resultados posibles para los cálculos. Las ideas principales de encontrar puntos críticos y utilizar pruebas de derivadas siguen siendo válidas, pero aparecen nuevas arrugas al evaluar los resultados.
Para las funciones de una sola variable, definimos los puntos críticos como los valores de la función cuando la derivada es igual a cero o no existe. Para funciones de dos o más variables, el concepto es esencialmente el mismo, excepto por el hecho de que ahora estamos trabajando con derivadas parciales.
Sea \(z=f(x,y)\Nuna función de dos variables que es diferenciable en un conjunto abierto que contiene el punto \((x_0,y_0)\Nde la misma.) El punto \((x_0,y_0)\Nse llama punto crítico de una función de dos variables \N(f\) si se cumple una de las dos condiciones siguientes:
Fórmula de máximos y mínimos
Los máximos y mínimos se conocen como los extremos de una función. Los máximos y mínimos son el valor máximo o mínimo de una función dentro del conjunto de rangos dados. Para la función, bajo todo el rango, el valor máximo de la función se conoce como el máximo absoluto y el valor mínimo se conoce como el mínimo absoluto.
Hay otros máximos y mínimos de una función, que no son los máximos y mínimos absolutos de la función y se conocen como máximos y mínimos locales. Conozcamos más sobre los máximos y mínimos locales, los máximos y mínimos absolutos y cómo encontrar los máximos y mínimos de la función.
Los máximos y mínimos son los picos y valles de la curva de una función. Puede haber cualquier número de máximos y mínimos para una función. En el cálculo, podemos encontrar el valor máximo y mínimo de cualquier función sin siquiera mirar la gráfica de la función. El máximo será el punto más alto de la curva dentro del rango dado y el mínimo sería el punto más bajo de la curva.
La combinación de máximos y mínimos es el extremo. En la imagen dada a continuación, podemos ver varios picos y valles en la gráfica. En x = a y en x = 0 se obtienen valores máximos de la función, y en x = b y x = c se obtienen valores mínimos de la función. Todos los picos son los máximos y los valles son los mínimos.
