Cómo resolver la población
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El crecimiento de la población de la Tierra es uno de los problemas más acuciantes de nuestro tiempo. ¿Seguirá creciendo la población? ¿O tal vez se estabilizará en algún momento, y si es así, cuándo? En esta sección veremos dos formas de utilizar las ecuaciones diferenciales para ayudarnos a responder a estas preguntas. Antes de empezar, consideremos de nuevo dos importantes ecuaciones diferenciales que hemos visto en trabajos anteriores de este capítulo.
A primera vista, esto parece bastante razonable. Cuando hay un número relativamente pequeño de personas, habrá menos nacimientos y muertes, por lo que la tasa de cambio será pequeña. Cuando el número de personas sea mayor, habrá más nacimientos y muertes, por lo que se espera una tasa de cambio mayor. Si \(P(t)\Nes la población \Nde los años 2000, podemos expresar este supuesto como \N[dfrac{dP}{ dt} = kP \label{eq2}\N].
Nuestro trabajo en la actividad \(\PageIndex{1}) muestra que el modelo exponencial es bastante preciso para los años relativamente cercanos al 2000. Sin embargo, si nos adentramos demasiado en el futuro, el modelo predice tasas de cambio cada vez más grandes, lo que hace que la población crezca de forma arbitraria. Esto no tiene mucho sentido, ya que no es realista esperar que la Tierra pueda soportar una población tan grande.
Cómo resolver la tasa de crecimiento de la población
Si una población experimenta un crecimiento exponencial, la población crecerá sin límite. En el problema de control de una población de conejos, exploramos cómo pueden utilizarse diferentes estrategias de recolección para mantener la población bajo control.
Dado que un entorno no puede sostener una población infinita de una especie, el crecimiento de la población se ralentizará a medida que aumente su tamaño. Modelamos el efecto de estos factores ambientales con una capacidad de carga que limitaba el crecimiento, lo que llevó a una ecuación logística para el crecimiento de la población de la forma
La tasa de crecimiento de baja densidad (nacimientos menos muertes naturales) es del 20%, y la tasa de crecimiento de baja densidad es la tasa de crecimiento máxima (que sólo se alcanza cuando la población es pequeña y está lejos de la capacidad de carga). Si la tasa de recolección supera la tasa de crecimiento de baja densidad, la población se reducirá y desaparecerá. De hecho, incluso si la tasa de recolección es exactamente del 20%, el segundo equilibrio es $P_e = 1000 (1 – 5(0,2)) = 0$, y la población seguirá muriendo.
Fórmula de crecimiento de la población
Las ecuaciones diferenciales pueden utilizarse para representar el tamaño de una población a medida que varía en el tiempo. Lo vimos en un capítulo anterior en la sección sobre el crecimiento exponencial y la decadencia, que es el modelo más sencillo. Un modelo más realista incluye otros factores que afectan al crecimiento de la población. En esta sección, estudiamos la ecuación diferencial logística y vemos cómo se aplica al estudio de la dinámica de la población en el contexto de la biología.
Para modelar el crecimiento de la población mediante una ecuación diferencial, primero tenemos que introducir algunas variables y términos relevantes. La variable representará el tiempo. Las unidades de tiempo pueden ser horas, días, semanas, meses o incluso años. En cualquier problema se deben especificar las unidades utilizadas en ese problema concreto. La variable representará la población. Como la población varía con el tiempo, se entiende que es una función del tiempo. Por lo tanto, utilizamos la notación de población en función del tiempo. Si es una función diferenciable, entonces la primera derivada representa la tasa de cambio instantánea de la población en función del tiempo.
Modelo de crecimiento de la población
7) Una población de ranas en un estanque tiene una tasa de crecimiento del \( 5%.\) Si la población inicial es de \( 1000\) ranas y la capacidad de carga es de \( 6000\), ¿cuál es la población de ranas en un momento dado?
8) [T] Las bacterias crecen a un ritmo de \( 20%\) por hora en una placa de Petri. Si inicialmente hay una bacteria y una capacidad de carga de \( 1\) millón de células, ¿cuánto tiempo tarda en alcanzar \( 500.000\) células?
10) [T] Se colocan dos monos en una isla. Después de 5 años, hay 8 monos y la capacidad de carga estimada es de 25 monos. ¿Cuándo alcanza la población de monos los 16 monos?
11) [T] Se construye un santuario de mariposas que puede albergar \( 2000\) mariposas, y se trasladan inicialmente \( 400\) mariposas. Si después de \( 2\) meses hay \( 800\) mariposas, ¿cuándo llega la población a \( 1500\) mariposas?
En los siguientes problemas se añade un valor umbral mínimo para que la especie sobreviva, \( T\), lo que cambia la ecuación diferencial a \( P'(t)=rP\left(1-\dfrac{P}{K}\right)\left(1-\dfrac{T}{P}\right)\).
