Ejemplo de variable aleatoria continua
Contenido
Como se ha comentado en el apartado 4.1 «Variables aleatorias» del capítulo 4 «Variables aleatorias discretas», una variable aleatoria se llama continua si su conjunto de valores posibles contiene un intervalo entero de números decimales. En este capítulo investigamos tales variables aleatorias.
Para una variable aleatoria discreta X, la probabilidad de que X asuma uno de sus posibles valores en un único ensayo del experimento tiene mucho sentido. Este no es el caso de una variable aleatoria continua. Por ejemplo, supongamos que X denota el tiempo que un viajero que acaba de llegar a una parada de autobús tiene que esperar al siguiente. Si los autobuses pasan cada 30 minutos sin falta, entonces el conjunto de valores posibles de X es el intervalo denotado [0,30], el conjunto de todos los números decimales entre 0 y 30. Pero aunque el número 7,211916 es un valor posible de X, el concepto de probabilidad de que el viajero espere exactamente 7,211916 minutos al siguiente autobús tiene poco o ningún significado. En todo caso, la probabilidad debería ser nula, ya que si pudiéramos medir de forma significativa el tiempo de espera con la millonésima parte de un minuto, es prácticamente inconcebible que alguna vez obtengamos exactamente 7,211916 minutos. Las preguntas más significativas son las del tipo ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de espera del viajero sea inferior a 10 minutos o esté entre 5 y 10 minutos? En otras palabras, con las variables aleatorias continuas uno se preocupa no por el evento de que la variable asuma un único valor particular, sino por el evento de que la variable aleatoria asuma un valor en un intervalo particular.
Función de distribución continua
Dada una variable aleatoria continua, \(X\), con función de densidad de probabilidad (pdf) \(f(x)\), calculamos su valor medio \(\mu \) (también conocido como valor esperado \(E\begin{pmatrix}X\end{pmatrix})) utilizando la fórmula:
Se cree que el tiempo que tarda, \(X\) en minutos, una determinada bacteria en dividirse en \(2\) bacterias distintas, sigue una distribución de probabilidad continua, con una función de densidad de probabilidad definida como:
Este valor de la mediana nos dice que, al realizar este experimento, hay una probabilidad de \(50\%\) de que la variable aleatoria continua sea inferior a \(\sqrt[3]{4}\) (\(\aprox 1,59 \)). Hay, por tanto, un \(50\%\) de que sea mayor que \(\sqrt[3]{4}\).
En el contexto de esta pregunta, este valor de la mediana nos dice que hay una \(50\%\) de probabilidad de que la bacteria se divida en \(2\) bacterias en menos de \(1,59\) minutos. Del mismo modo, hay una probabilidad del 50 % de que las bacterias se dividan en 2 bacterias en más de 1,59 minutos.
La moda de una variable aleatoria continua corresponde al(los) valor(es) en el(los) que la función de densidad de probabilidad alcanza un máximo local, o un pico. Es el valor con mayor probabilidad de encontrarse en el mismo intervalo que el resultado.
Probabilidad total continua
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La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta es la lista de todos los valores posibles de la variable y sus probabilidades que suman \(1\). La función de distribución de la probabilidad acumulada da la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual a un valor determinado.
Podemos trazar fácilmente ambas funciones utilizando R. Dado que la probabilidad es igual a \(1/6\) para cada resultado, establecemos el vector de probabilidad utilizando la función rep() que replica un valor dado un número determinado de veces.
es acabar con un \(5\) veces cara. Este es un ejemplo típico de lo que llamamos un experimento Bernoulli, ya que consiste en \(n=10\) ensayos Bernoulli que son independientes entre sí y estamos interesados en la probabilidad de observar \(k=5\) éxitos \(H\) que se producen con probabilidad \(p=0,5\) (suponiendo una moneda justa) en cada ensayo. Tenga en cuenta que el orden de los resultados no importa aquí.
Variables aleatorias con la misma distribución
Un estudio trata de determinar el efecto de una dieta baja en grasas en la vida de las ratas. Las ratas se dividen en dos grupos, uno con una dieta normal y otro con una dieta baja en grasas. Se supone que las vidas de ambos grupos se distribuyen normalmente con la misma varianza pero diferente media. Si el 20% de las ratas con dieta normal vivieron más de 12 meses, el 5% menos de 8 meses y el 85% de las ratas con dieta baja en grasas vivieron más de 11 meses,
Se sabe que en una población el alargamiento del tríceps sural sigue tiene una media de 60 cm y una desviación estándar de 15 cm. Si se extrae una muestra de 30 individuos de esta población, ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea superior a 62 cm? Si una muestra es atípica si su media está por debajo del percentil 5, ¿es atípica una muestra de 60 individuos con $\bar x=57$?
El tiempo de curación de una lesión de rodilla en jugadores de fútbol sigue un modelo de distribución normal con media de 50 días y desviación típica de 10 días. Si hay un partido de la final dentro de 65 días, ¿cuál es la probabilidad de que un jugador que acaba de lesionarse la rodilla se pierda la final? Si el partido de semifinales es dentro de 40 días, y 4 jugadores se acaban de lesionar la rodilla, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de ellos pueda jugar la semifinal?
