Problemas resueltos de jacobias pdf
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Recordemos de la regla de sustitución el método de integración por sustitución. Al evaluar una integral como sustituimos Entonces o y los límites cambian a y Así la integral se convierte y esta integral es mucho más sencilla de evaluar. En otras palabras, al resolver problemas de integración, hacemos las sustituciones adecuadas para obtener una integral que se vuelve mucho más sencilla que la integral original.
También utilizamos esta idea cuando transformamos integrales dobles en coordenadas rectangulares a coordenadas polares y transformamos integrales triples en coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas o esféricas para hacer los cálculos más sencillos. De forma más general,
Una transformación plana es una función que transforma una región en un plano en una región en otro plano mediante un cambio de variables. Ambas y son subconjuntos de Por ejemplo, (Figura) muestra una región en el transformada en una región en el por el cambio de variables y o a veces escribimos y Supondremos típicamente que cada una de estas funciones tiene primeras derivadas parciales continuas, lo que significa que y existen y son también continuas. La necesidad de este requisito quedará clara en breve.
Elipse de cambio de variables
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla «estrecho» (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En esencia, se trata de tomar una integral en términos de \ (x\) y cambiarla en términos de \ (u\). Queremos hacer algo similar para las integrales dobles y triples. De hecho ya lo hemos hecho en cierta medida cuando convertimos integrales dobles a coordenadas polares y cuando convertimos integrales triples a coordenadas cilíndricas o esféricas. La principal diferencia es que no hemos repasado los detalles de dónde proceden las fórmulas. Si recuerdas, en cada uno de esos casos comentamos que en algún momento justificaríamos las fórmulas de \(dA\) y \(dV\). Ahora es el momento de hacer esa justificación.
Cambio de variables en integrales dobles
naturalmente consideramos el cambio de variable \(u = x^2+1\text{,}\}) De esta sustitución, se deduce que \(du = 2x \, dx\text{,}\} y como \(x = 0\) implica \(u = 1\) y \(x = 2\) implica \(u = 5text{,}\} hemos transformado la integral original en \(x\) en una nueva integral en \(u\text{,}\} En particular,
A través de nuestro trabajo con coordenadas polares, cilíndricas y esféricas, ya hemos visto implícitamente algunos de los problemas que surgen al utilizar un cambio de variables con dos o tres variables presentes. En lo que sigue, buscamos entender las ideas generales que hay detrás de cualquier cambio de variables en una integral múltiple.
Una transformación es otro nombre para la función: aquí, las ecuaciones \(x = r\cos(\theta)\) y \(y = r\sin(\theta)\) definen una función \(T\) por \(T(r, \theta) = (r\cos(\theta), r\sin(\theta))\theta) de forma que \ T\ es una función (transformación) de \ R^2\) a \ R^2\text{. Consideramos esta transformación como una versión del plano \(xy\) en la que los ejes representan \(r\) y \theta) (el plano \(r\theta)) al conocido plano \(xy\).
Cambio de variables integral triple
En ocasiones, suele ser ventajoso evaluar \(\iint\limits_R {f\left( {x,y} \right)dxdy}\) en un sistema de coordenadas distinto del sistema de coordenadas xy. Esto puede ser consecuencia de la forma de la región o de la complejidad del integrando. El cálculo de la integral doble en el nuevo sistema de coordenadas puede ser mucho más sencillo.
\N-[\iint\\Nlimits_R {f\left( {x,y} \right)dxdy} = \iint\limits_S {f\left[ {x\left( {u,v} \right),y\left( {u, v} \\\N-derecha)} \N-derecha] \N-perfrac{{parcialmente \N-izquierda( {x,y} \N-derecha)}{{parcialmente \N-izquierda( {u,v} \N-derecha)}} |dudv} ,\N – [\N – izquierda| \N – derecha]
\[|fractura{{parcialmente |izquierda( {x,y} |derecha)}{{parcialmente |izquierda( {u,v} |derecha)}} \\N-derecha| = \N-izquierda| {\N-empieza{array}{*{20}{c} {\frac{{parcial x}}{parcial u}}&{\frac{{parcial x}}{parcial v}} {\frac{{parcial y}}{parcial u}}&{\frac{parcial y}{parcial v}} \Fin… \N – derecho| \N – 0\N – es el llamado Jacobiano de la]
es el llamado Jacobiano de la transformación \left( {x,y} \right) \to \left( {u,v} \right),\) y \(S\) es el pullback de la región de integración \\\ R\) que puede ser calculado sustituyendo \(x = xleft( {u,v} \right),\) \(y = y\left( {u,v} \right)\\N en la definición de \N-(R.\N-) Obsérvese, que \N(\left| {\frac{{parcialmente \left( {x,y} \right)}}{{{parcialmente \left( {u,v} \right)}} \right||) en la fórmula anterior significa el valor absoluto del determinante correspondiente.
