Solucionador de secuencias numéricas
Contenido
La secuencia anterior tiene 1000 términos. El primer término es 1 y el último término es 1000 y la diferencia común es igual a 1. Tenemos la fórmula que da la suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética conociendo el primer y el último término de la secuencia y el número de términos (ver fórmula anterior).
El término ∑ n es la suma de los 10 primeros enteros positivos. Los 10 primeros enteros positivos forman una sucesión aritmética cuyo primer término es igual a 1, tiene n = 10 términos y su décimo término es igual a 10. Esta suma se obtiene mediante la fórmula sn = n (a1 + an) / 2 como sigue
Secuencias numéricas
El método de Newton busca aproximar una solución \( f(x)=0\) que parte de una aproximación inicial \( x_0\) y define sucesivamente una secuencia \( x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f′(x_n)}). Para la elección dada de \( f\) y \( x_0), escriba la fórmula para \( x_{n+1}\). Si la sucesión parece converger, dé una fórmula exacta para la solución \( x\), y luego identifique el límite \( x\) exacto hasta cuatro decimales y el menor \( n\) tal que \( x_n\) coincida con \( x\) hasta cuatro decimales.
59) [T] Un lago contiene inicialmente \( 2000\) peces. Supongamos que en ausencia de depredadores u otras causas de eliminación, la población de peces aumenta en \( 6\%\) cada mes. Sin embargo, teniendo en cuenta todas las causas, se pierden \( 150\) peces cada mes.
62) [T] Considere una serie que combina el crecimiento geométrico y la disminución aritmética. Sea \( a_1=1\). Fijar \( a>1\) y \( 0<b<a\)). Fijar \( a_{n+1}=a.a_n-b.\N-Encuentre una fórmula para \( a_{n+1}\Nen términos de \N( a_n, a\N), y \N(b\N) y una relación entre \N(a\N) y \N(b\N) tal que \N(a_n) converja.
Ejemplos de secuencias numéricas y respuestas
Para cada una de las secuencias que se dan a continuación, encuentre una fórmula cerrada para \(a_n\text{,}\) el \(n\)º término de la secuencia (suponga que los primeros términos son \(a_0\)) relacionándola con otra secuencia de la que ya conoce la fórmula. En cada caso, di brevemente cómo has obtenido tus respuestas.
Demuestra que \N(a_n = 3\cdot 2^n + 7\cdot 5^n) es una solución de la relación de recurrencia \N(a_n = 7a_{n-1} – 10a_{n-2}text{.}) ¿Cuáles tendrían que ser las condiciones iniciales para que ésta fuera la fórmula cerrada de la sucesión?
Encuentra una definición recursiva para la sucesión con fórmula cerrada \(a_n = 3 + 2n\text{.}) Puntos extra si puedes dar una definición recursiva en la que se utilicen dos términos anteriores y ninguna constante.
\Si tomamos \(a_0 = 5\text{,}) los términos de la suma son una secuencia aritmética con fórmula cerrada \(a_n = 5+2n\text{,}) Entonces \(521 = a_{258}\text{,}) para un total de 259 términos en la suma. Invertir y sumar para obtener 259 términos idénticos de 526, que es el doble del total que buscamos. \ (526\cdot 259 = 68117\)
Resolución de problemas con ejemplos de secuencias
Los primeros deberes sobre secuencias y series serán probablemente una mezcolanza de ejercicios genéricos, destinados a ayudarle a familiarizarse, y a sentirse cómodo, con la terminología y la notación básicas. Los ejercicios suelen dar más miedo de lo que realmente son. Tómese su tiempo y trabaje lentamente con el conjunto de problemas para poder absorber la información que necesitará más adelante.
(b) El símbolo raro es la letra griega mayúscula «sigma», que indica una serie. Eso significa que aquí me piden que haga la suma de los términos de la secuencia. El «valor» que me piden que encuentre es el total, la suma, de todos los términos an desde a1 hasta a5; en otras palabras:
Me han dado una regla para cada término de esta serie; la regla es multiplicar el índice por dos. Así que, para encontrar cada término, introduciré el valor de n en la fórmula; es decir, tomaré el índice y lo multiplicaré por dos. Empezaré con n = 0 y terminaré con n = 4. Para hallar la suma de la serie, sumaré todos los términos, así:
Las secuencias y las series suelen ser el primer lugar en el que los estudiantes se encuentran con esta notación con signo de exclamación. La notación no indica que la serie sea «enfática» de alguna manera, sino que es una notación matemática técnica. Indica que los términos de esta suma implican factoriales. (Si no estás familiarizado con los factoriales, repasa ahora).
