Qué es un límite en el cálculo para dummies
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Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla «estrecho» (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lateral de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En esta sección vamos a echar un vistazo a la definición precisa y matemática de los tres tipos de límites que hemos visto en este capítulo. Veremos la definición precisa de los límites en puntos finitos que tienen valores finitos, los límites que son infinitos y los límites en el infinito. También daremos la definición precisa y matemática de continuidad.
Lo que la definición nos dice es que para cualquier número \(\varepsilon > 0\) que elijamos podemos ir a nuestra gráfica y trazar dos líneas horizontales en \(L + \varepsilon \) y \(L – \varepsilon \) como se muestra en la gráfica anterior. Luego, en algún lugar del mundo hay otro número \(\delta > 0\), que tendremos que determinar, que nos permitirá añadir dos líneas verticales a nuestra gráfica en \(a + \delta \) y \(a – \delta \).
Calculadora de límites
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla «estrecho» (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lateral del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En la sección anterior vimos un par de problemas y en ambos problemas teníamos una función (la pendiente en el caso del problema de la tangente y la tasa de cambio promedio en el problema de la tasa de cambio) y queríamos saber cómo se comportaba esa función en algún punto \(x = a\). A estas alturas del juego ya no nos importa de dónde vinieron las funciones y tampoco nos importa si las vamos a volver a ver en el camino o no. Lo único que necesitamos saber o preocuparnos es que tenemos esas funciones y queremos saber algo sobre ellas.
Para responder a las preguntas de la última sección elegimos valores de \(x\) que se acercan cada vez más a \(x = a\) y los introducimos en la función. También nos aseguramos de buscar valores de \(x\) que estuvieran tanto a la izquierda como a la derecha de \(x = a\). Una vez hecho esto, miramos nuestra tabla de valores de la función y vimos a qué se acercaban los valores de la función a medida que \(x\) se acercaba más y más a \(x = a\) y lo utilizamos para adivinar el valor que buscábamos.
¿Qué es el límite?
El concepto de límite o proceso de limitación, esencial para la comprensión del cálculo, existe desde hace miles de años. De hecho, los primeros matemáticos utilizaban un proceso de limitación para obtener aproximaciones cada vez mejores de las áreas de los círculos. Sin embargo, la definición formal de límite -tal y como la conocemos y entendemos hoy- no apareció hasta finales del siglo XIX. Por lo tanto, comenzamos nuestra búsqueda para entender los límites, como hicieron nuestros antepasados matemáticos, utilizando un enfoque intuitivo. Al final de este capítulo, armados con una comprensión conceptual de los límites, examinaremos la definición formal de un límite.
2 y x= -1 para x < 2. Hay círculos abiertos en ambos puntos extremos (2, 1) y (-2, 1). La tercera es h(x) = 1 / (x-2)^2, en la que la función se curva asintóticamente hacia y=0 y x=2 en los cuadrantes uno y dos.» width=»975″ height=»434″> Figura 1. Estas gráficas muestran el comportamiento de tres funciones diferentes en torno a .
Cada una de las tres funciones es indefinida en , pero si hacemos esta afirmación y ninguna otra, damos una imagen muy incompleta de cómo se comporta cada función en la vecindad de . Para expresar el comportamiento de cada gráfica en la vecindad de 2 de forma más completa, necesitamos introducir el concepto de límite.
Matemáticas de los límites
En matemáticas, un límite es el valor al que se aproxima una función (o secuencia) a medida que la entrada (o índice) se acerca a algún valor[1] Los límites son esenciales para el cálculo y el análisis matemático, y se utilizan para definir la continuidad, las derivadas y las integrales.
Augustin-Louis Cauchy en 1821,[4] seguido por Karl Weierstrass, formalizó la definición del límite de una función que se conoció como la definición (ε, δ) de límite. La definición utiliza ε (la letra griega minúscula épsilon) para representar cualquier número positivo pequeño, de modo que «f(x) se acerca arbitrariamente a L» significa que f(x) se encuentra finalmente en el intervalo (L – ε, L + ε), que también puede escribirse utilizando el valor absoluto como |f(x) – L| < ε. [4] La frase «a medida que x se acerca a c» indica entonces que nos referimos a valores de x cuya distancia a c es menor que algún número positivo δ (la letra griega minúscula delta), es decir, valores de x dentro de (c – δ, c) o (c, c + δ), lo que puede expresarse con 0 < |x – c| < δ. La primera desigualdad significa que x ≠ c, mientras que la segunda indica que x está dentro de la distancia δ de c.[4]
