Volumen de revolución problemas y soluciones pdf
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En la sección anterior se presentaron los métodos del disco y de la arandela, que calculan el volumen de los sólidos de revolución integrando el área de la sección transversal del sólido. En esta sección se desarrolla otro método para calcular el volumen, el método de la concha. En lugar de cortar el sólido perpendicularmente al eje de rotación creando secciones transversales, ahora lo cortamos paralelamente al eje de rotación, creando «conchas».
Consideremos la Figura \(\PageIndex{1}), donde la región mostrada en (a) se gira alrededor del eje \(y\) formando el sólido mostrado en (b). En (a) se dibuja un pequeño corte de la región, paralelo al eje de rotación. Al girar la región, esta pequeña porción forma una envoltura cilíndrica, como se muestra en la parte (c) de la figura. En el apartado anterior se ha aproximado un sólido con muchos discos finos (o arandelas); ahora se aproxima un sólido con muchos caparazones cilíndricos finos.
Para calcular el volumen de una carcasa, considera primero la etiqueta de papel de una lata de sopa con radio \(r\) y altura \(h\). ¿Cuál es el área de esta etiqueta? Una forma sencilla de determinarlo es cortar la etiqueta y colocarla en plano, formando un rectángulo con altura \(h\) y longitud \(2\pi r\). Por tanto, el área es \(A = 2\pi rh\); véase la figura \(\PageIndex{2a}\).
Volumen del sólido girado en torno al eje y
Análogamente, podemos hallar el volumen del sólido cuando la región está limitada por la curva \(x = f\left( y \right)\) y el eje \(y-\) entre \(y = c\) y \(y = d,\) y se gira sobre el eje \(y-\).
Suponiendo que las funciones \a(f\a izquierda( x \a derecha)\a) y \a(g\a izquierda( x \a derecha)\a) son continuas y no negativas en el intervalo \a(\a izquierda[ {a,b} \a derecha]\a) y \a(g\a izquierda( x \a derecha)\a f\a izquierda( x \a derecha), \) consideran una región que está limitada por dos curvas \(y = f\left( x \right)\Ny \ y(y = g\left( x \right),\Nentre \Nla x = a\Ny la x = b. \)
El volumen del sólido que se genera al girar alrededor del eje \ y una región entre las curvas \(x = f\left( y \right)\) y \(x = g\left( y \right),\) donde \(g\left( y \right) \le f\left( y \right)\) y \(c \le y \le d\) viene dado por la fórmula
Si una curva límite está definida en forma paramétrica por las ecuaciones \(x = x\left( t \right),\) \(y = y\left( t \right),\) donde el parámetro \(t\) varía de \(\alpha\) a \(\beta,\) entonces el volumen del sólido generado al girar la curva alrededor del eje \(x-\)viene dado por
Problemas y soluciones del método Shell pdf
También se puede utilizar la integral definida para encontrar el volumen de un sólido que se obtiene al girar una región plana alrededor de una línea horizontal o vertical que no pasa por el plano. Este tipo de sólido estará formado por uno de los tres tipos de elementos -discos, arandelas o casquillos cilíndricos-, cada uno de los cuales requiere un enfoque diferente a la hora de plantear la integral definida para determinar su volumen.
Si el eje de revolución es el límite de la región plana y las secciones transversales se toman perpendiculares al eje de revolución, entonces se utiliza el método del disco para encontrar el volumen del sólido. Como la sección transversal de un disco es un círculo con área π r 2, el volumen de cada disco es su área por su espesor. Si un disco es perpendicular al eje x, entonces su radio debe expresarse en función de x. Si un disco es perpendicular al eje y, entonces su radio debe expresarse en función de y.
Si el eje de revolución no es un límite de la región plana y las secciones transversales se toman perpendiculares al eje de revolución, se utiliza el método de la arandela para encontrar el volumen del sólido. Piensa en la arandela como un «disco con un agujero» o como un «disco al que se le ha quitado el centro». Si R es el radio del disco exterior y r es el radio del disco interior, entonces el área de la arandela es π R 2 – π r 2, y su volumen sería su área por su espesor. Como se señaló en la discusión del método del disco, si una arandela es perpendicular al eje x, entonces los radios interior y exterior deben expresarse como funciones de x. Si una arandela es perpendicular al eje y, entonces los radios deben expresarse como funciones de y.
Volumen del sólido de revolución alrededor del eje x
Análogamente, podemos hallar el volumen del sólido cuando la región está limitada por la curva \(x = f\left( y \right)\) y el eje \(y-\) entre \(y = c\) y \(y = d,\) y se gira alrededor del eje \(y-\).
Suponiendo que las funciones \a(f\a izquierda( x \a derecha)\a) y \a(g\a izquierda( x \a derecha)\a) son continuas y no negativas en el intervalo \a(\a izquierda[ {a,b} \a derecha]\a) y \a(g\a izquierda( x \a derecha)\a f\a izquierda( x \a derecha), \) consideran una región que está limitada por dos curvas \(y = f\left( x \right)\Ny \ y(y = g\left( x \right),\Nentre \Nla x = a\Ny la x = b. \)
El volumen del sólido que se genera al girar alrededor del eje \ y una región entre las curvas \(x = f\left( y \right)\) y \(x = g\left( y \right),\) donde \(g\left( y \right) \le f\left( y \right)\) y \(c \le y \le d\) viene dado por la fórmula
Si una curva límite está definida en forma paramétrica por las ecuaciones \(x = x\left( t \right),\) \(y = y\left( t \right),\) donde el parámetro \(t\) varía de \(\alpha\) a \(\beta,\) entonces el volumen del sólido generado al girar la curva alrededor del eje \(x-\)viene dado por
