(en el dominio de la frecuencia compleja, también conocido como dominio s, o plano s). La transformada tiene muchas aplicaciones en ciencia e ingeniería porque es una herramienta para resolver ecuaciones diferenciales[1]. En particular, transforma las ecuaciones diferenciales ordinarias en ecuaciones algebraicas y la convolución en multiplicación[2][3].
La transformada de Laplace debe su nombre al matemático y astrónomo Pierre-Simon, marqués de Laplace, que utilizó una transformada similar en su trabajo sobre la teoría de la probabilidad[4]. Laplace escribió extensamente sobre el uso de las funciones generadoras en Essai philosophique sur les probabilités (1814), y la forma integral de la transformada de Laplace evolucionó naturalmente como resultado[5].
El uso que hizo Laplace de las funciones generadoras fue similar a lo que ahora se conoce como la transformada z, y prestó poca atención al caso de la variable continua, que fue discutido por Niels Henrik Abel[6]. La teoría fue desarrollada en el siglo XIX y principios del XX por Mathias Lerch,[7] Oliver Heaviside,[8] y Thomas Bromwich[9].
Ejercicios de la transformada de Laplace
Cómo resolver problemas de valor inicial utilizando transformadas de LaplacePara utilizar una transformada de Laplace para resolver un problema de valor inicial de ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden, necesitaremos utilizar una tabla de transformadas de Laplace o la definición de la transformada de Laplace para poner la ecuación diferencial en términos de ???Y(s)???.Una vez que resolvamos la ecuación resultante para ???Y(s)???, querremos simplificarla hasta que reconozcamos que los términos de nuestra ecuación coinciden con las fórmulas de una tabla de transformadas de Laplace. A continuación, haremos sustituciones inversas para ??s?? en términos de ??t??
Aprender matemáticasKrista King12 de mayo de 2019matemáticas, aprender online, curso online, matemáticas online, ecuaciones diferenciales, transformadas de laplace, tabla de transformadas de laplace, definición de la transformada de laplace, problemas de valor inicial, PIV, condiciones iniciales
Resolver una ecuación diferencial con la transformada de Laplace
Inicio de los casos \frac{1}{s \left(\frac{a}{s} + 1\\right)} & \text{para}{{a}: \left|{arg{left(s \right)}\\\\\nderecho| \leq \frac{\pi}{2} \\N – límites_{0}^{infty} e^{- a t} e^{- s t}\N, dt & \N – texto{{siempre} |fin{casos}$
Sympy proporciona una función llamada laplace_transform que hace esto de manera más eficiente. Por defecto, devolverá las condiciones de convergencia también (recuerde que esto es una integral impropia, con un límite infinito, por lo que no siempre convergen).
\displaystyle \left[ 1, \ t, \ t e^{- a t}, \ t e^{- a t}, \ t^{2} e^{- a t}, \ \sin{left(\omega t \right)}, \cos{left(\omega t \right)}, \ 1 – e^{- a t}, \ e^{- a t} \Nsin{izquierda(\omega t \\Nderecha)}, \N e^{- a t} \N- a t}, \N- a t}, \N-cos{izquierda(\omega t \\N-derecha)}]$
Ya se ha mencionado en la lección introductoria que, matemáticamente hablando, utilizamos el término transformaciones cuando nos referimos a trucos ingeniosos en matemáticas que permiten cambiar un problema de metodología de nivel superior a algo más sencillo, como el álgebra.
Este es exactamente el caso de nuestra lección de hoy, en la que utilizaremos la transformación de Laplace para descomponer una ecuación diferencial lineal de orden superior, separar sus términos, simplificarlos y luego trabajarlos para obtener una expresión para la solución implícita de la ecuación diferencial.
Para calcular dicho resultado, primero calcularemos las dos ecuaciones principales que se utilizarán a lo largo del proceso, estas ecuaciones que recomendamos aprender y tenerlas a mano, son las que se muestran en la ecuación 6. Después explicaremos los cálculos en una lista de pasos y terminaremos resolviendo algunos ejemplos sobre el tema.
Así pues, ya hemos tenido una introducción a la transformada de Laplace e incluso una lección sobre cómo calcular expresiones de Laplace por un sencillo método de comparación. Ahora es el momento de ver cómo nos ayudan estas transformaciones al resolver ecuaciones diferenciales.
