Preguntas resueltas de la integral de Riemann
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Una técnica de cálculo fundamental es responder primero a un problema dado con una aproximación, luego refinar esa aproximación para hacerla mejor, y luego usar los límites en el proceso de refinación para encontrar la respuesta exacta. Esto es exactamente lo que haremos aquí para desarrollar una técnica para encontrar el área de regiones más complicadas.
Consideremos la región dada en la figura 1.1, que es el área bajo \(y=4x-x^2) en \(\left[0,4\right]\text{.}) ¿Cuál es el área con signo de esta región cuando el área por encima del eje \(x\)-es positiva y por debajo negativa?
Figura 1.1. \(f(x) = 4x-x^2\)Empezamos por aproximar. Podemos rodear la región con un rectángulo con altura y anchura de \(4\) y encontrar que el área es aproximadamente \(16\) unidades cuadradas. Evidentemente, se trata de una sobreaproximación; estamos incluyendo en el rectángulo un área que no está bajo la parábola. ¿Cómo podemos refinar nuestra aproximación para mejorarla? La clave de este apartado es esta respuesta: utilizar más rectángulos.
Utilicemos cuatro rectángulos de igual anchura de \N(1\text{. Esto divide el intervalo \(\left[0,4\right]\) en cuatro subintervalos, \(\left[0,1\right]\text{,}\}) \(\left[1,2\right]\text{,}\}) \(\left[2,3\right]\} y \(\left[3,4\right]\text{,}\}) En cada subintervalo dibujaremos un rectángulo.
Mcq on riemann integration with answers pdf
Sea \(\displaystyle L_n\) la suma del punto final izquierdo utilizando n subintervalos y sea \(\displaystyle R_n\) la correspondiente suma del punto final derecho. En los siguientes ejercicios, calcule las sumas izquierda y derecha indicadas para las funciones dadas en el intervalo indicado.
20) Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha – \(\displaystyle L_4\) y \(\displaystyle R_4\), respectivamente- para \(\displaystyle f(x)=(2-|x|)\) en \(\displaystyle [-2,2].\) Calcule su valor medio y compárelo con el área bajo la gráfica de f.
21) Calcula las sumas de Riemann izquierda y derecha – \(\displaystyle L_6) y \(\displaystyle R_6\), respectivamente- para \(\displaystyle f(x)=(3-|3-x|)\\Nen \Nla gráfica de f. Calcula su valor medio y compáralo con el área bajo la gráfica de f.
22) Calcula las sumas de Riemann izquierda y derecha – \(\displaystyle L_4) y \(\displaystyle R_4), respectivamente- para \(\displaystyle f(x)=\sqrt{4-x^2}) en \(\displaystyle [-2,2]\) y compara sus valores.
23) Calcular las sumas de Riemann izquierda y derecha – \(\displaystyle L_6) y \(\displaystyle R_6), respectivamente- para \(\displaystyle f(x)=\cadrado{9-(x-3)^2}) en \(\displaystyle [0,6]\) y comparar sus valores.
Problemas de práctica de la suma de Riemann pdf con respuestas
En la sección anterior definimos la integral definida de una función en [a,b] como el área con signo entre la curva y el eje x. Algunas áreas eran sencillas de calcular; terminamos la sección con una región cuya área no era sencilla de calcular. En esta sección desarrollamos una técnica para encontrar dichas áreas.
Hay tres formas comunes de determinar la altura de estos rectángulos: la regla de la mano izquierda, la regla de la mano derecha y la regla del punto medio. La Regla de la Mano Izquierda dice que hay que evaluar la función en el punto final izquierdo del subintervalo y hacer el rectángulo de esa altura. En la figura 5.3.2, el rectángulo dibujado en el intervalo [2,3] tiene una altura determinada por la regla de la mano izquierda; tiene una altura de f(2). (El rectángulo está etiquetado como «LHR».)
La regla de la mano derecha dice lo contrario: en cada subintervalo, se evalúa la función en el punto final de la derecha y se hace el rectángulo de esa altura. En la figura, el rectángulo dibujado en [0,1] se dibuja usando f(1) como su altura; este rectángulo está etiquetado como «RHR».
La regla del punto medio dice que en cada subintervalo se evalúa la función en el punto medio y se hace el rectángulo de esa altura. El rectángulo dibujado en [1,2] fue hecho usando la Regla del Punto Medio, con una altura de f(1.5). Ese rectángulo está etiquetado como «MPR».
Ejemplos de integrales de Riemann pdf
Sea f (x) una función continua y no negativa definida en el intervalo cerrado [a, b]. ¿Cómo encontrar el área de la región S delimitada por la curva y = f (x), el eje x y las rectas verticales x = a y x = b?
Utilizamos la partición \(P\) para dividir la región \(S\) en franjas \({S_1},{S_2}, \ldots ,{S_n}. \A continuación, aproximamos las franjas \({S_i}) utilizando rectángulos \({R_i}) y eligiendo un punto de muestra \({\xi _i}) en cada subintervalo \(\ft[{x_{i – 1}},{x_i}{right].\)
\N – [A \Napprox \N de la suma de los límites_i = 1}^n {{A_i}} = \N de la suma de los límites_i = 1}^n {fleft( {{xi _i}} \Nright)\Ndelta {x_i}} = f\Nleft( {{xi _1}} \Nright)\Ndelta {x_1} + f\left( {{xi _2}} \ right)\Delta {x_2} + \cdots + f\left( {{xi _n}} \right)\Delta {x_n}.\c]
La suma \ {{sum\\\i = 1}^n {f\left( {{xi _i}} \right)\Delta {x_i}} \) se llama la suma de Riemann, que fue introducida por Bernhard Riemann (izquierda (1826 – 1866), un matemático alemán.
Hay varios tipos de sumas de Riemann. La suma de Riemann izquierda utiliza los puntos extremos izquierdos de los subintervalos. La suma de Riemann derecha utiliza los puntos finales de la derecha, y la suma de Riemann del punto medio se calcula utilizando los puntos medios de los subintervalos.
