Regla del producto de diferenciación
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Hemos visto las técnicas para diferenciar funciones básicas (, etc.) así como sumas, diferencias, productos, cocientes y múltiplos constantes de estas funciones. Sin embargo, estas técnicas no nos permiten diferenciar composiciones de funciones, como por ejemplo o . En este apartado, estudiamos la regla para encontrar la derivada de la composición de dos o más funciones.
Cuando tenemos una función que es una composición de dos o más funciones, podríamos utilizar todas las técnicas que ya hemos aprendido para diferenciarla. Sin embargo, utilizar todas esas técnicas para descomponer una función en partes más simples que podamos diferenciar puede resultar engorroso. En su lugar, utilizamos la regla de la cadena, que establece que la derivada de una función compuesta es la derivada de la función exterior evaluada en la función interior por la derivada de la función interior.
Para poner esta regla en contexto, veamos un ejemplo: . Podemos pensar en la derivada de esta función con respecto a como la tasa de cambio de en relación con el cambio en . En consecuencia, queremos saber cómo cambia a medida que cambia. Podemos pensar en este evento como una reacción en cadena: A medida que cambia, cambia, lo que lleva a un cambio en . Esta reacción en cadena nos da pistas sobre lo que implica el cálculo de la derivada de . En primer lugar, un cambio en forzando un cambio en sugiere que de alguna manera la derivada de está implicada. Además, el cambio en forzando un cambio en sugiere que la derivada de con respecto a , donde , es también parte de la derivada final.
Ejemplo de regla de la cadena
Ejemplos sobre la regla de la cadenaEjemplo 10.8Halla F′(x) si F (x) = √[x2 +1]SoluciónToma u = g(x) = x2 + 1 y f (u) =√u∴ F (x) = ( niebla)(x) = f (g(x))Ejemplo 10. 9Diferencie : (i) y = sin(x2) (ii) y = sin2xSolución(i) La función exterior es la función seno y la función interior es la función cuadrada.Sea u = x2Es decir, y = sin u.EJERCICIO 10.3Diferencie las siguientes :
Material de estudio, notas de clase, tarea, referencia, explicación de la descripción Wiki, breve detalle 11º Matemáticas : UNIDAD 10 : Cálculo diferencial: Diferenciabilidad y Métodos de Diferenciación : Ejemplos sobre la Regla de la Cadena (Reglas de Diferenciación) |
Hoja de ejercicios de la regla de la cadena
Los siguientes problemas requieren el uso de la regla de la cadena. La regla de la cadena es una regla para diferenciar composiciones de funciones. En la siguiente discusión y soluciones la derivada de una función h(x) se denotará por o h'(x) . La mayoría de los problemas son medios. Unos pocos son algo difíciles.
Sin embargo, rara vez utilizamos este enfoque formal cuando aplicamos la regla de la cadena a problemas concretos. En su lugar, recurrimos a un enfoque intuitivo. Por ejemplo, a veces es más fácil pensar en las funciones f y g como «capas» de un problema. La función f es la «capa exterior» y la función g es la «capa interior». Así, la regla de la cadena nos dice que primero debemos diferenciar la capa exterior, dejando la capa interior sin modificar
(el término f'( g(x) ) ) y luego diferenciar la capa interna (el término g'(x) ) . Este proceso se irá aclarando a medida que vayas haciendo los problemas. En la mayoría de los casos, las respuestas finales se dan en la forma más simplificada.
Ejercicios de reglas de productos
\y’\a la izquierda( x \a la derecha) = \a la izquierda( {sin {x^3}\a la derecha)^prime = {a la izquierda( {sin {x^3}\a la derecha)^prime }\a la izquierda( {x^2}\a la derecha)^prime }\a la derecha)^prime + \Nsin {x^3} {izquierda( {\cos {x^2} {derecha)^prima } = \cos {x^3} \cdot {{Izquierda( {{x^3}} ^^prima } \cdot \cos {x^2} + + sin {x^3} \cdot \left( { {\sin{x^2}} \right) \cdot {\left( {{x^2}} \right)^prime } = \cos {x^3} \3{x^2} \cdot \cos {x^2} – \sin{x^3} \cdot \cin{x^2} \cdot 2x = 3{x^2}\cos {x^3}\cos {x^2} – 2x \sin{x^3}\sin{x^2}.\c]
\y’\left( x \right) = \left[ {\sin \left( {{\cos }^2}x} \right)} ^\prime = \cos\left( {{\cos }^2}x} \right) \cdot {left( {{\cos }^2}x} ^\right)} = \cos\left( {{cos }^2}x} \cdot 2\cos x \cdot {\left( {\cos x} \right)^\prime } = \cos\left( {{cos }^2}x} \cdot 2\cos x \cdot \left( {{\cos }^2}x} \cdot) = – \cos\left( {{cos }^2}x} \cdot 2\cos x\sin x = – \cos\left( {{cos }^2}x} \cdot)\cin 2x.\c]
\y’\left( x \right) = \left( {{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x \right)^prime = {\left( {{\sin }^4}x \right)^prime } + {\left( {{cos }^4}x} ^prime } = 4\ {\sin ^3}x \cdot {\left( {\sin x} \right)^prime } + 4\N-cos ^3}x \N-izquierda( {\Ncos x} \N-derecha)^prima } = 4\ {\sin ^3}xcos x – 4\ {\cos ^3}x\sin x = 4\sin x\cos x \cdot \left( {{\sin }^2}x – {\cos }^2}x \right).\cdot]
